Берем частные производные первого порядка:
$$ z’_x = 3x^2 $$ $$ z’_y = 4y^3 $$
Воспользовавшись формулой составляем полный дифференциал:
$$ dz = 3x^2 dx + 4y^3 dy $$
Из условия задачи известны все переменные для вычисления значения дифференциала. Подставив их и вычислим значение:
$$ dz = 3cdot 1^2 cdot 0.03 + 4 cdot 2^3 cdot (-0.01) = 0.09 — 0.32 = -0.23 $$
Полный дифференциал для функции двух переменных:
- Примеры
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Пусть f(x) дифференцируема в точке x и f ‘(x)≠0 , тогда ∆y=f’(x)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x)∆x.
, то есть ∆y
f’(x)∆x. Следовательно, f’(x)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x и обозначают dy(x) или df(x). Итак, для произвольных значений x
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда
dy=f′(x)dx. (2)
Пример . Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4 tg2 x
Решение:
дифференциал:
б)
Решение:
дифференциал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:
дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:
Пример . Для функции y=x 3 найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .
Введите функцию, для которой необходимо найти частные производные
Найдем частные производные функции f. Помогает вычислить полный. дифференциал функции
Правила ввода функций
В функции f можно делать следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Функция f может состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Функция — абсолютное значение x (модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Функция — арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Функция — арксинус от x arcsinh(x) Функция — арксинус гиперболический от x arctan(x) Функция — арктангенс от x arctanh(x) Функция — арктангенс гиперболический от x e Функция — e это то, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (тоже самое, что и e^x) floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) log(x) or ln(x) Функция — Натуральный логарифм от x (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — "Пи", которое примерно равно 3.14 sign(x) Функция — Знак x sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — Корень из от x x^2 Функция — Квадрат x tan(x) Функция — Тангенс от x tanh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн