Полный дифференциал сложной функции

Как найти?

Постановка задачи

Найти полный дифференциал функции двух переменных $ z = f(x,y) $

План решения

Формула полного дифференциала функции записывается следующим образом:

$$ dz = f’_x (x,y) dx + f’_y (x,y) dy $$

1. Находим первые частные производные функции $ z = f(x,y) $
2. Подставляя полученные производные $ f’_x $ и $ f’_y $ в формулу, записываем ответ

Примеры решений

Находим частные производные первого порядка:

$$ f’_x = 2 $$ $$ f’_y = 3 $$

Подставляем полученные выражения в формулу полного дифференциала и записываем ответ:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1

Найти полный дифференциал функции двух переменных $ z = 2x + 3y $

Решение

Ответ

$$ dz = 2dx + 3dy $$

Так как функция состоит из трёх переменных, то в формуле полного дифференциала функции необходимо это учесть и добавить третье слагаемое $ f’_z dz $:

$$ du = f’_x dx + f’_y dy + f’_z dz $$

Аналогично как и в случае функции двух переменных находим частные производные первого порядка:

$$ u’_x = yz $$ $$ u’_y = xz $$ $$ u’_z = xy $$

Используя формулу записываем ответ:

$$ du = yzdx + xzdy + xydz $$

Пример 2

Найти полный дифференциал функции нескольких переменных $ u = xyz $

Решение

Ответ

$$ du = yzdx + xzdy + xydz $$

Берем частные производные первого порядка:

$$ z’_x = 3x^2 $$ $$ z’_y = 4y^3 $$

Воспользовавшись формулой составляем полный дифференциал:

$$ dz = 3x^2 dx + 4y^3 dy $$

Из условия задачи известны все переменные для вычисления значения дифференциала. Подставив их и вычислим значение:

$$ dz = 3cdot 1^2 cdot 0.03 + 4 cdot 2^3 cdot (-0.01) = 0.09 — 0.32 = -0.23 $$

Найдем полный дифференциал сложной функции, определяемой равен­ст­вами (7) и (8). По формулк (4) , а частные производ­ные и сложной функции определяются равенствами (11) и (12) соответственно. Следовательно

Преобразуем правую часть

то последнее равенство примет вид

(13)

Сравнивая формулы (13) и (4), можно сказать, что полный дифференциал функции z = f(u, v) имеет один и тотже вид независимо от того, являются ли ее аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных. Этот факт называют свойством инвариантности дифферен­циала первого порядка. Таким образом, установлено, что функции нескольких переменных обладают свойством инвариантности формы первого диф­ферен­циала.

Дата добавления: 2015-01-24 ; просмотров: 679 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Функция $z$, заданная уравнением

в котором $u$ и $v$ — функции независимых переменных $x$ и $y$, называется сложной функцией от аргументов $x,y$.

Запись функции $z$ через переменные $x,y$ выглядит следующим образом:

Записать $z(u,v)$ и виде $z(x,y)$, если:

Решение:

Подставим в выражение для $z(u,v)$ выражения $u=x+1$ и $v=x+e^ $, получим:

Пусть функции $F(u,v),varphi (x,y),psi (x,y)$ имеют непрерывные частные производные по все своим аргументам. Тогда:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Найти частные производные заданной функции $z(u,v)$, если:

Решение:

Частные производные заданной функции $z(u,v)$ имеют вид:

Пусть функция $w$ задана уравнением

в котором $z,u,v,s$ — функции независимых переменных $x$ и $y$, называется сложной функцией от аргументов $x,y$.

Тогда формулы для нахождения частных производных запишутся следующим образом:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Найти частные производные заданной функции $w=F(z,u,v)$, если:

Решение:

Частные производные заданной функции $w=F(z,u,v)$ имеют вид:

[frac<partial w> <partial x>=uvcdot 2x+zvcdot 1+zucdot 1=2uvx+zv+zu,] [frac<partial w> <partial y>=uvcdot 1+zvcdot 0+zucdot e^ =uv+zucdot e^=ucdot (v+ze^)]

Рассмотрим функцию $z=F(x,y,u,v)$, в которой $y,u,v$ зависят от одного аргумента $x$, т.е.

Данная функция является функцией одного аргумента $x$. Значит, можно рассматривать вопрос о поиске производной $frac $.

Полной производной заданной функции $z=F(x,y,u,v)$ нескольких переменных одного аргумента $x$ называется производная, вычисляемая по следующей формуле:

Найти полную производную заданной функции $z(y,u,v)$, если:

Решение:

Производные $frac ,frac ,frac $ имеют вид:

Полная производная заданной функции $z(y,u,v)$ имеет вид:

Полным дифференциалом заданной функции $z=F(u,v)$ нескольких переменных аргументов $x$ и $y$ называется запись вида:

Найти полный дифференциал заданной функции $z(u,v)$, если:

Решение:

Дифференциалы $du,dv$ имеют вид:

[du=1cdot dx+2ydy=dx+2ydy,] [dv=frac<1> cdot dx+e^ cdot dy.]

Полный дифференциал заданной функции $z(u,v)$ имеет вид:

[dz=(2uv+1)cdot (dx+2ydy)+(u^ <2>+1)cdot (frac<1> cdot dx+e^ dy)=] [=left(2uv+1+frac <2>+1>
ight)cdot dx+left((2uv+1)cdot 2y+(u^ <2>+1)cdot e^
ight)dy.]

[dz=left(2uv+1+frac <2>+1>
ight)cdot dx+left((2uv+1)cdot 2y+(u^ <2>+1)cdot e^
ight)dy.]

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Пример 3

Вычислить значение полного дифференциала функции $ z = x^3+y^4 $, при $ x = 1 $, $ y = 2 $, $ dx = 0.03 $ и $ dy = -0.01 $

Решение