Полулогарифмическая шкала как построить

Основные свойства счетной линейки и в первую очередь правило пропорций вытекают из того, что шкалы счетной линейки являются логарифмическими.

Шкала называется логарифмической, если на ней нанесены логарифмы чисел, а отметками шкалы являются сами числа.

На рисунке представлена логарифмическая шкала х рядом с равномерной шкалой у, на которой нанесены десятичные логарифмы чисел х.

Равномерность шкалы у означает, что длина отрезка [у₁, у₂] между любыми двумя точками у₁ и у₂ этой шкалы пропорциональна разности у₂ — у₁ В частности, последовательные целые точки, y = 0, 1, 2, . находятся на равных расстояниях друг от друга. На шкале х: против точек у = 0, 1, 2, . ставятся отметки х = 1, 10, 100. так что логарифмическая шкала х оказывается уже неравномерной. Промежуточные отметки шкалы х могут быть нанесены с помощью таблицы десятичных логарифмов, например, отметки х = 2; 3; 4; 5 наносятся против значений у = 0,301; 0,478; 0,602; 0,699. Очевидно, что точки х = 1, 2, 3, 4, 5, . будут при этом находиться на неравных расстояниях.

Логарифмическая шкала простирается неограниченно в обе стороны. Слева от точки х=1 находятся положительные числа, меньшие 1, десятичные логарифмы которых отрицательны. (Мы здесь и в дальнейшем будем употреблять термины «точка х» и «число х» как равносильные, подобно тому как это делается при работе с числовой осью.)

Основные шкалы А и В счетной линейки представляют собой только один отрезок [1, 10] логарифмической шкалы. Шкалы С и D представляют собой отрезок [1, 100] логарифмической шкалы, а шкала К — отрезок [1, 1000] той же шкалы.

Шкала L представляет собой равномерную шкалу, точки 0 и 1 которой находятся соответственно против чисел 1 и 10 шкалы В из сказанного выше, а также из рисунка ясно, что шкала L дает десятичные логарифмы чисел шкалы В.

1. Вывод правила пропорций (см. раздел "Правило пропорций"). Сначала найдем расстояние ρ [а, b] между двумя точками х = а и x = b (b > а) логарифмической шкалы. Воспользуемся для этого равномерностью шкалы у = lgx длина отрезка шкалы у, совпадающего с отрезком [а, b] шкалы х пропорциональна разности lgb — lga.

Обозначая коэффициент пропорциональности через λ, получим

В частности, расстояние любой точки х логарифмической шкалы от точки 1 пропорционально десятичному логарифму числа х

Коэффициент λ равен длине отрезка [1, 10] логарифмической шкалы (т. е. единице масштаба оси у), как видно из формулы

Возьмем теперь две одинаковые и параллельно расположенные логарифмические шкалы, которые мы обозначим через А и В. Сместим шкалу А относительно шкалы В и рассмотрим любые пары чисел а₁ и b₁ а₂ и b₂, которые окажутся друг против друга на этих шкалах (см. раздел "Правило пропорций").

Это значит, что для рассматриваемых чисел имеет место пропорция

Эта пропорция равносильна пропорции

которая и выражает доказываемое правило:

При любом смещении шкал А и В все числа шкалы А пропорциональны расположенным против них числам шкалы В.

Отметим, что доказанное правило пропорций относится ко всей бесконечной логарифмической шкале. Если бы мы имели возможность построить такую шкалу на счетной линейке, то мы могли бы вести расчеты с числами без их предварительной нормализации и без переброски движка. Необходимость нормализации исходных данных и применяемые в расчетах переброски движка вызваны тем, что на основных шкалах счетной линейки имеется только один отрезок логарифмической шкалы.

2. Свойство «периодичности» логарифмической шкалы. Из правила пропорций вытекает, что если шкалу А сдвинуть относительно шкалы В вправо на длину отрезка [1, 10], то все числа шкалы В будут в 10 раз больше расположенных против них чисел шкалы А:

Отсюда следует, что логарифмическая шкала на отрезке [10, 100] как бы повторяет отрезок [1, 10] этой шкалы с увеличением всех чисел в 10 раз. Точно так же любой отрезок [10 n , 10 n+1 ] как бы повторяет отрезок [1, 10] с увеличением всех чисел в 10 n раз (n — целое). Благодаря этому свойству один отрезок [1, 10] позволяет восстановить путем последовательного смешения всю логарифмическую шкалу. Отмеченное свойство называется свойством периодичности логарифмической шкалы. Оно позволяет, в частности, обосновать правило переброски движка путем рассмотрения этой переброски как продолжения шкалы А или В. Далее, в силу того же свойства периодичности логарифмические шкалы С и D можно рассматривать как шкалы, состоящие каждая из двух отрезков [1, 10], а это значит, что на них можно решать пропорции без переброски движка.

Наконец, свойство периодичности позволяет нанести логарифмическую шкалу на окружность, что вообще снимает вопрос о перебросках движка. Такие круговые логарифмические шкалы реализованы в конструкциях логарифмического диска «Спутник» (см. раздел "Решение пропорций") и описываемой в приложении 3 Круговой логарифмической линейки КЛ-1.

3. Постоянство относительной погрешности. Погрешность установки чисел на шкале определяется тем расстоянием, на которое по техническим правилам допускается смещение штрихов шкалы. Так как смещение штрихов, не превышающее допуска, может встретиться на любом участке шкалы, то для равномерной шкалы абсолютная погрешность установки чисел будет одна и та же на всем протяжении шкалы. Иначе обстоит дело на логарифмических шкалах. Здесь оказывается постоянной не абсолютная, а относительная погрешность установки чисел. Это означает следующее. Пусть при установке чисел а и b на логарифмической шкале их абсолютные погрешности А_а и А_b вызваны тем, что отметки а и b смещены на одно и то же расстояние. Тогда из равенства этих расстояний

как и в пункте 1, вытекает пропорция

что и выражает равенство относительных погрешностей установки чисел а и b.

По существующим техническим правилам смещение штрихов на обычных счетных линейках не должно превосходить 0,2 мм. Это значит, что предельное допустимое смещение любой отметки а составляет

Отсюда по формуле расстояний получаем

Для основных шкал А к В нормальной линейки коэффициент дающий длину отрезка [1, 10] шкалы, равен 250 мм, поэтому

а значит, относительная погрешность установки чисел на основных шкалах А и В нормальной счетной линейки составляет около 0,2%.

На шкалах С и D коэффициент К вдвое меньше (125 мм) и поэтому относительная погрешность установки чисел на этих шкалах вдвое больше (≈ 0,4%).

4. Построение шкал степенных функций. Рассмотрим сначала соответствие между шкалами В и С корпуса. Шкала В представляет собой отрезок [1, 10] логарифмической шкалы с масштабным коэффициентом λ₁ = 250 мм. Шкала С представляет собой отрезок [1, 100] логарифмической шкалы с масштабным коэффициентом λ₂ = λ₁/2 = 125 мм причем 1 шкалы С находится против 1 шкалы В.

Поэтому если точка u шкалы С находится против точки х шкалы В, то из равенства расстояний

Вот почему шкала С является шкалой квадратов для шкалы В. Аналогично строится шкала кубов К с масштабным коэффициентом λ₃ = λ₁/3.

Шкала квадратов и шкала кубов являются простейшими шкалами степенной функции. Легко построить шкалу степенной функции u = х r при любом показателе r > 0. Для этого достаточно параллельно шкале В аргумента х поместить еще одну логарифмическую шкалу с масштабным коэффициентом

и установить число u = 1 этой шкалы против числа х = 1 шкалы В. Действительно, при этом для соответственных точек х и u по формуле расстояния имеем

Таким путем можно построить на счетной линейке шкалу функции х r не только при любом целом, но и при любом дробном и даже иррациональном значении r. На обычных линейках ограничиваются случаями целых значений r = 2 и r = 3.

Заметим, что можно построить шкалу степенной функции и с отрицательным показателем r = -q, q > 0; для этого надо только изменить направление логарифмической шкалы u. Действительно, при изменении направления оси изменяется знак в формуле расстояния, и поэтому предидущая формула заменяется на следующую:

На обычных линейках подобные шкалы встречаются только для случая г = — 1 (шкала обратных величин).

Если откладываемая на оси диаграммы величина N изменяется в широком диапазоне, то применяют логарифмическую шкалу (рисунок 5.12). В проектах наиболее часто в логарифмическом масштабе откладывают частоту на амплитудно-частотных, фазочастотных характеристиках, напряжения на амплитудных характеристиках усилителей и др. Для построения логарифмических шкал применяют систему десятичных логарифмов. Отрезок шкалы, на котором величина изменяется в десять раз, называют декадой. Линии, разграничивающие декады, делают толще.

Используемая для построения шкалы мера l пропорциональна логарифму откладываемой на оси величины N.

,

где М — масштабный коэффициент шкалы, равный длине декады.

Если на оси диаграммы длиной L нужно разместить т декад, то, очевидно, M=L/m. На логарифмической шкале указывают не логарифм числа, а само число. Шкала начинается с числа 10 n , где п — нуль или любое целое число. Разработка логарифмической шкалы сводится к разработке первой декады, так как вся шкала состоит из ряда декад, отличающихся лишь тем, что числа шкалы каждой последующей декады увеличены на один порядок по сравнению с предыдущей (см. рисунок 5.12). Шкала в пределах декады должна быть оцифрована равномерно, а количество чисел на шкалах декад — одинаково.

Рисунок 5.12. На оси абсцисс диаграммы построена логарифмическая шкала

При расчете и анализе систем автоматического регулирования применяют логарифмические амплитудно-частотые характеристики (ЛАХ), на осях абсцисс которых откладывают логарифмы частоты, а на осях ординат—логарифмы относительных амплитуд. Логарифмические характеристики имеют то преимущество, что для многих простых систем их приближенно аппроксимируют отрезками прямых, а перемножение двух передаточных функций сводится к сложению ординат двух логарифмических амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик.

6.Основные виды чертежей дипломного проекта и правила их выполнения

6.1. Размещение чертежей на бумажном листе

Форматом чертежа называют размер обрезанного листа бумаги, на котором выполнен чертеж (табл. 6.1).

При подготовке инструкции по работе с графиками на сайте Stockcharts.com я не уточнила такой важной момент, как выбор шкалы. Уточняю. Если вы посмотрите на график движения цены, то увидите на нем две оси. По горизонтальной оси X отложено время, по вертикальной оси Y – цена.

Для оси X используется арифметическая (линейная) шкала. Для оси Y может применяться как арифметическая, так и логарифмическая шкала. В чем их отличие?

Арифметическая шкала показывает простое изменение цены в количестве пунктов или долларов. Логарифмическая шкала показывает не абсолютное изменение цены, а относительное, то есть не в количестве пунктов или долларов, а в процентном соотношении.

На арифметической шкале все единичные отрезки имеют одинаковую длину. Интервалы логарифмической шкалы не равны, так как с ростом цены процентные изменения уменьшаются и, как следствие, отрезки становятся уже, а деления чаще.

Принцип построения арифметической шкалы

Арифметическая шкала строится от нуля и с помощью сложения и вычитания. При перемещении вправо от нуля значения складываются, а при перемещении влево от нуля – вычитаются. Значение показателя по мере продвижения оси изменяется на равную величину. В результате отрезок шкалы 10-20 будет равен отрезку 100-110, несмотря на то, что в первом варианте изменение составит 100% (2 раза), а во втором – лишь 10%.

Принцип построения логарифмической шкалы

В логарифмической шкале равным отрезкам соответствует одинаковое процентное изменение показателя. Например, отрезок шкалы 10-20 будет равен отрезкам 20-40 и 40-80, т.е. изменение показателя во всех случаях составит 2 раза. Данная шкала строится от единицы с помощью умножения и деления. И для того чтобы переместиться на такое же расстояние как в арифметической шкале, например, на 10, необходимо 1 умножить на 10. В свою очередь, для перемещения на 10 влево, нужно 1 разделить на 10.

Отображение графиков с разной шкалой

При работе с графиками на коротких интервалах времени разница между арифметическим и логарифмическим способами шкалирования едва заметна. Однако при больших ценовых колебаниях и длительных периодах различия существенны. Эта хорошо видно на рисунке ниже. На нем я наложила графики индекса NYSE Composite ($NYA) за более чем 20-летний период. Менее четкая линия – это линия графика, построенного по логарифмической шкале.

График индекса NYSE Composite ($NYA), построенный по арифметической и логарифмической шкале

Живая версия графиков доступна здесь и здесь.

Обратите внимание, что диапазон колебаний на графике с арифметической шкалой выше, чем с логарифмической. Кроме этого, на графике с арифметической шкалой есть ощущение более существенного движения и изменения. Поэтому такой способ построения любят СМИ: он позволяет преувеличить значения показателей и раздуть новость. Этого не происходит, когда данные отображаются на логарифмической шкале. И именно ее я рекомендую использовать при работе с графиками, охватывающими данные за длительный период.