Порядок малости функции это

Поиск по этому блогу

Порядок малости. Тема

Как определяются 1) бесконечно малые одного порядка малости, 2) эквивалентные бесконечно малые, 3) бесконечно малые более высокого порядка малости, и как сравнить порядок малости двух бесконечно малых функций.

Бесконечно малые функции, по определению, характеризуются тем, что стремятся к нулю. Но дело в том, что стремятся они с разной скоростью. Если бесконечно малая приближается к нулю быстро, то говорят, что она обладает высоким порядком малости, если медленно — то низким порядком малости.

Например, квадратичная функция в окрестности нуля обладает более высоким порядком малости, нежели линейная.

Определения, связанные с понятием порядка малости таковы:

1. Если предел отношения бесконечно малых функций равен конечному числу, отличному от нуля и единицы, то говорят, что они обладают одним порядком малости.
2. Если этот предел равен единице, то говорят, что они эквивалентны.
3. Если же он равен нулю (или бесконечности, что, в данном контексте, одно и то же), то говорят, что одна из них обладает более высоким порядком малости.

Таким образом, прием определения порядка малости состоит в вычислении предела отношения двух бесконечно малых.

Порядок малости — это красивый термин, который часто используется в теоретических разделах математического анализа и очень редко на практике. Вам следует представлять, что такое порядок малости, чтобы понимать математические тексты.

Просмотрите видео по теме «Порядок малости». Затем перейдите к вопросам по теме «Порядок малости» и попробуйте самостоятельно сравнить порядок малости предложенных вам бесконечно малых. Наконец, проверьте себя, просмотрев ответы на вопросы по теме «Порядок малости».

Для того чтобы лучше разобраться с темой «Порядок малости», обязательно решите все задания.

Очередь просмотра

Очередь

• Удалить все
• Отключить

Хотите сохраните это видео?

• Пожаловаться

Пожаловаться на видео?

Выполните вход, чтобы сообщить о неприемлемом контенте.

Понравилось?

Не понравилось?

Текст видео

Занятия и репетиторство по Skype. Facebook: http://facebook.com/matan.channel , ВКонтакте: http://vk.com/matan.channel , Viber: +7 (927) 74-69-502, WhatsApp: +7 (927) 74-69-502.

Как определяются 1) бесконечно малые одного порядка малости, 2) эквивалентные бесконечно малые, 3) бесконечно малые более высокого порядка малости, и как сравнить порядок малости двух бесконечно малых функций.

Бесконечно малые функции, по определению, характеризуются тем, что стремятся к нулю. Но дело в том, что стремятся они с разной скоростью. Если бесконечно малая приближается к нулю быстро, то говорят, что она обладает высоким порядком малости, если медленно — то низким порядком малости.

Например, квадратичная функция в окрестности нуля обладает более высоким порядком малости, нежели линейная.

Определения, связанные с понятием порядка малости таковы:

1. Если предел отношения бесконечно малых функций равен конечному числу, отличному от нуля и единицы, то говорят, что они обладают одним порядком малости.
2. Если этот предел равен единице, то говорят, что они эквивалентны.
3. Если же он равен нулю (или бесконечности, что, в данном контексте, одно и то же), то говорят, что одна из них обладает более высоким порядком малости.

Таким образом, прием определения порядка малости состоит в вычислении предела отношения двух бесконечно малых.

Порядок малости — это красивый термин, который часто используется в теоретических разделах математического анализа и очень редко на практике. Вам следует представлять, что такое порядок малости, чтобы понимать математические тексты.

Просмотрите видео по теме «Порядок малости». Затем перейдите к вопросам по теме «Порядок малости» и попробуйте самостоятельно сравнить порядок малости предложенных вам бесконечно малых. Наконец, проверьте себя, просмотрев ответы на вопросы по теме «Порядок малости».

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Трофимов С.П.

Исследуются бесконечно малые величины (БМВ). БМВ являются основным инструментом математического анализа и теории оптимизации. Основной характеристикой БМВ является порядок малости . Порядок малости обычно округляется до натурального числа, так как он тесно связан с производными функций. В работе предлагается численный алгоритм нахождения дробных порядков малости. Это позволяет находить дробную кратность нулей функции, дробные производные функции и обобщить критерии безусловных экстремумов.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Трофимов С.П.

Numerical method for determining the order of smallness of the infinitesimal

We investigate infinitesimal quantities (ISQ). ISQ is the main instrument of mathematical analysis and optimization theory. The main characteristic of a ISQ is an order of smallness . The order of smallness is usually rounded to integer, as it is closely associated with derivative functions. The numerical algorithm for finding the fractional order of smallness is proposed. This allows us to find the fractional multiplicity of function roots, fractional derivatives and generalize the criteria for extremes without constraints.

Текст научной работы на тему «Численный метод определения порядка малости бесконечно малых величин»

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОРЯДКА МАЛОСТИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН

Исследуются бесконечно малые величины (БМВ). БМВ являются основным инструментом математического анализа и теории оптимизации. Основной характеристикой БМВ является порядок малости. Порядок малости обычно округляется до натурального числа, так как он тесно связан с производными функций. В работе предлагается численный алгоритм нахождения дробных порядков малости. Это позволяет находить дробную кратность нулей функции, дробные производные функции и обобщить критерии безусловных экстремумов.

Ключевые слова: бесконечно малая величина, бесконечно большая величина, порядок малости, бесконечный порядок малости, логарифмические координаты, наклонная асимптота, кратность корня, предел функции; численные формулы дифференцирования.

NUMERICAL METHOD FOR DETERMINING THE ORDER OF SMALLNESS OF THE INFINITESIMAL

We investigate infinitesimal quantities (ISQ). ISQ is the main instrument of mathematical analysis and optimization theory. The main characteristic of a ISQ is an order of smallness. The order of smallness is usually rounded to integer, as it is closely associated with derivative functions. The numerical algorithm for finding the fractional order of smallness is proposed. This allows us to find the fractional multiplicity of function roots, fractional derivatives and generalize the criteria for extremes without constraints.

Keywords: infinitesimal quantity, infinitely large quantity, order of smallness, infinite order of smallness, logarithmic coordinates, inclined asymptote, multiplicity of the root, limit of a function, original of a function and logarithmic image of a function, numerical differentiation formulas.

История бесконечно малых величин.

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бес-

конечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (положительной) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (диффе-

ренциалы), и затем в его интегрировании. В начале XIX века Коши построил фундамент математического анализа. Он строго определил базовые понятия: предел, сходимость, непрерывность, дифференциал и др., после чего актуальные бесконечно малые исчезли из науки. Некоторые оставшиеся тонкости разъяснил позднее Вейерштрасс.

В настоящее время термин «бесконечно малая величина» математики в подавляющем большинстве случаев относят не к числам, а к функциям или последовательностям.

Бесконечно малая величина (БМВ) и бесконечно большая величина (ББВ)

Определение 1. Функция Д(х) называется бесконечно малой величиной, если

■ ■ ■ — 1 ■ : — : V’ -V: — = 0 _ ^ (1)

Примеры БМВ: х,л(х, X2 _х х4, зт(х), соз(х)-1Л8(х).

В стандартных координатах графики БМВ в окрестности нуля практически неотличимы друг от друга, что не дает возможности провести визуальный анализ функций.

Рис. 1. График БМВ в стандартных координатах

Определение 2. Порядком малости БМВ Д(х) называется минимальное положительное число р, для которого предел

1) БМВ у = X2 имеет второй порядок малости, так как

2) БМВ у = ^х имеет порядок малости

Б, так как Ит^ц "7^=1^0.

3) БМВ у = х имеет порядок малости 1, так как -=1^0.

Определение 3. Функция F(x) называется бесконечно большой величиной (ББВ), если !■.■-:: V = ‘■’.

Между БМВ Д(х) и ББВ F(x) существует следующая взаимосвязь:

существует и отличен от нуля. Примеры определения порядков малости:

БМВ могут появляться в различных случаях:

1) задание с помощью некоторой аналитической формулы;

2) для любой непрерывной функции g(x) и любой точки х0 величина

Д(х) = g(x+ хо) — g(xo) является БМВ;

3) погрешность численных методов.

Логарифмическая шкала. Применение

естественной шкалы для изображения графиков БМВ не позволяет рассмотреть поведение в малой окрестности нуля. Объяснение этому очевидному факту служит формула (1). Будем использовать для построения графика БМВ логарифмическую шкалу для обеих осей координат. Для этого прологарифмируем выражение у=Дх)по основанию 10. Получим

Допустим, правую часть выражения (2) удалось выразить через величину 1« х:

где g(x) — некоторая аналитическая функция. Обозначим х = ^ х, у = ^ у, тогда уравнение (3) принимает вид

График функции (4) будем называть lg графиком исходной функции Д(х).

Пример 1. На рис. 2 изображен график функции у = . Этот график совпадает со своей асимптотой, имеющей уравнение у = 0,5 • х.

Рис. 2. lg-lg график БМВ у=Х0’5

Таким образом, на горизонтальной оси координат lg-lg графика вместо переменной x, близкой к нулю, будет изображаться логарифм этой величины lg(x), который при малых значениях 0 f(x).

Допустим, имеются две БМВ f^x) и f2(x). Построим их lg-изображения:

Над lg-изображениями можно осуществлять арифметические операции:

сд±(х) = с lg А (х)= lg Ас(х),

откуда вытекает сд^х) Лс(х) Аналогично получаем

с + д±(х)^ 10е Ш 31(х) + д1(х)

Вывод: Арифметические операции над логарифмическими образами функций БМВ соответствуют некоторым операциям над оригиналами исходных БМВ. Аналогичная ситуация имеет место с интегральным преобразованием Фурье.

Асимптотический способ определения порядка малости БМВ. Определение 2 не дает способа определения порядка малости БМВ. Ниже описывается алгоритм нахождения не только порядка малости р БМВ Д(х), но и коэффициента Ь при соответствующем мономе Ь-хр. Таким образом, мы получаем наилучшее приближение

Допустим, логарифмический образ некоторой БМВ !Тх) задан функцией у= §(%") и имеет наклонную асимптоту

где а и к — коэффициенты асимптоты. Известно (см., например, [1, с. 119-122]), что эти коэффициенты определяются по формулам

Теорема: БМВ Д(х) имеет порядок малости р тогда и только тогда, когда существует асимптота (5) для ее логарифмического образа (4). При этом

Вывод: Таким образом, неизвестный заранее порядок малости БМВ можно найти по аналитическим формулам (6), (7), (8). Пример 2. Из рис. 2 видно, что гра-

фик БМВ совпадает со своей асимптотой и равенство (8) выполняется.

Построим в Excel lg-lg график БМВ

Макет листа Excel для построения lg-lg графика

x f(x) i=lg x g(:0 = lg fx)

0.01 =f(0.01) -2 =lgf(0.01)

1E-19 =f(1E-19) -19 =lgf(1E-19)

График строим по колонкам 3 и 4. После этого визуальным образом определяем асимптоту функции, находим две точки этой асимптоты и по ним определяем угловой коэффициент к асимптоты и свободный коэффициент а.

Существуют БМВ, для которых порядок малости существует, но не является конечным числом.

Пример 3. Рассмотрим БМВ у=х- 1§(х). После логарифмирования получим

1ё(у) = — 1ё(х) ‘ 1б(х), то есть логарифмический образ у = — х2 является перевернутой параболой и не имеет наклонной асимптоты. Поэтому БМВ имеет бесконечный порядок малости, она стремится к нулю быстрее любой степенной функции. Примером ненулевой БМВ с нулевым порядком малости является функция

Нахождение кратности корня нелинейной функции

С порядком малости БМВ тесно связано понятие кратности корня или нуля функции. Нахождение кратности корня необходимо для методов, которые ищут все корни функции на некотором заданном отрезке.

Определение 4. Известно, что кратностью корня х нелинейной функции Д(х) называется минимальное положительное число р, такое, что функция

не имеет корня х=х0.

Определению дробной кратности корня функции посвящена статья [2]. В этой работе кратность определяется путем анализа вычислительных свойств модифицированного алгоритма касательных нахождения этого корня. В нашей работе для нахождения кратности корня мы определяем характеристики асимптоты логарифмического образа исходной функции.

Из уравнения (9) вытекает, что функция §(х) = h (х+х) является БМВ с порядком малости р. Таким образом, кратность корня можно определить с помощью методов нахождения порядка малости БМВ.

Рис. 3. lg-lg график БМВ f(x) = ((tg(>)2 — l)2

Горизонтальная линия на рис. 3 объясняется погрешностями округления вещественного типа данных, используемого для вычислений. Начало этой линии определяется так называемым машинным эпсилон, которое в данном случае примерно равно 10-16.

Порядок точности численных методов При анализе численных методов важную

роль играет определение порядка точности этих методов. Например, порядок точности вычисления определенного интеграла методом трапеций равен 2. Это означает, что при уменьшении шага интегрирования в 10 раз погрешность метода уменьшится в 100 раз. Определение порядка точности метода является достаточно сложной математической задачей. Покажем, как можно это сделать с помощью нашего подхода.

Найдем точность двух методов вычислении производной Г(хо).

1. Дифференцирование с помощью правой формулы

где шаг дифференцирования h теоретически является БМВ.

Функция полной погрешности формулы (10) имеет вид

Из рис. 4 видно, что угловой коэффициент к=1.

2. Численное дифференцирование по центральной формуле.

Пример 6. Возьмем для примера А(х) = X2, хп = 1. На рис. 5 представлен график погрешности по центральной формуле.

Известно, что 0 0, т.е. ф

является бесконечно малой величиной. Построим график погрешности (11). Для нахождения асимптоты графика найдем две ее точки. Из теории численных методов известно, что формула (10) имеет первый порядок малости, то есть ф(Ь) — С-Ь. Отсюда 1в(ф(Ь)) — lg (С-Ь) =1в(С) + lg(h), то есть угловой коэффициент к наклонной асимптоты должен быть равным к=1. Проверим эти рассуждения на примере.

Рис. 4. График lg-lg погрешности правой формулы численного дифференцирования

Рис. 5. График погрешности центральной формулы численного дифференцирования

Из теории также известно, что формула (12) имеет второй порядок точности, то есть \%Х = ^(С)+2-^(Ь). Из рис. 5 видно, что угловой коэффициент к=2.

Вывод. В статье предложены геометрический и аналитический способы определения порядка малости БМВ, которые являются графически наглядными и могут использоваться в учебном процессе. В дальнейшем предполагается показать связь порядка малости БМВ с производными дробного порядка. Для функций нескольких переменных планируется изучение БМВ, возникающих в окрестности локального экстремума при движении к нему по фиксированному направлению, и построение на этой базе новых критериев оптимальности.

1. Шолохович Ф.А. Высшая математика в кратком изложении. Екатеринбург: Уральское издательство, 2006. 320 с.

2. Калиткин Н.Н., Пошивайло И.П. Определение кратности корня нелинейного алгебраического уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. №7. С.1181-1186.