Алгебраический порядок точности численного метода (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) — наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.
Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности d <displaystyle d> 
Очевидно, что метод левых (или правых) прямоугольников имеет порядок точности 0, метод Рунге — Кутты (решения дифференциальных уравнений) четвёртого порядка — 4. Широко известный метод Гаусса по пяти точкам имеет порядок точности 9. Менее очевидно, но легко показывается, что порядок точности метода трапеций — 1, а метода Симпсона— 3.
Наивысшая возможная алгебраическая степень точности для методов численного интегрирования достигается для метода Гаусса.
Для метода Рунге — Кутты решения ОДУ порядок точности имеет другое значение — максимальное число первых членов ряда Тейлора полученного решения, совпадающих с действительным решением ОДУ
Другие определения [ править | править код ]
Зачастую порядком точности называют порядок зависимости точности от величины шага и обозначают как O ( h ) <displaystyle O(h)>
Алгебраический порядок точности численного метода (порядок точности численного метода, степень точности численного метода, порядок точности, степень точности) — наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.
Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности , если его остаток равен нулю для любого полинома степени , но не равен нулю для полинома степени .
Очевидно, что метод левых (или правых) прямоугольников имеет порядок точности 0, метод Рунге — Кутты (решения дифференциалных уравнений) четвёртого порядка — 4. Широко известный метод Гаусса по пяти точкам имеет порядок точности 9. Менее очевидно, но легко показывается, что порядок точности метода трапеций — 2, а метода Симпсона — 4.
Наивысшая возможная алгебраическая степень точности для методов численного интегрирования достигается для метода Гаусса.
Для метода Рунге — Кутты решения ОДУ порядок точности имеет другое значение — максимальное число первых членов ряда Тейлора полученного решения, совпадающих с действительным решением ОДУ
Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как случайную, так и приборную погрешности. Случайная погрешность уменьшается с увеличением количества отдельных измерений, а приборная погрешность не меняется, оставаясь в пределах ±q. При выполнении многократного измерения желательно получить столько отдельных измерений, сколько необходимо для выполнения соотношения
Поскольку случайную погрешность обычно оценивают с доверительной вероятностью 0,68 , а 0 — оценка максимальной погрешности прибора, то можно считать, что выражение (1) задает доверительный интервал также с вероятность не меньшей 0,68. При выполнении однократного измерения оценкой погрешности результата служит ??x = 0/3, учитывающая только предельно допустимую приборную погрешность.
Встречаются ситуации, когда случайную и приборную погрешности удается сравнить без вычислений (??x)случ. Это возможно, если результаты отдельных измерений не выходят за пределы допустимой приборной погрешности:
где xmin, xmax — наибольшее и наименьшее значения измеряемой величины. Повышение точности многократного измерения в таком случае невозможно, а погрешностью окончательного результата будет 0/3 .
дифференцирование алгебраический полином интерполяционный
Итак, применяя для численного дифференцирования на отрезке [а; Ь] интерполяционный полином, естественно строить на этом отрезке систему равноотстоящих узлов а = х [n+1]
тогда выражение Пn+1(x)принимает вид
Учитывая, что при постоянном шаге имеет место xi= x +ih, i = 0, 1, …n, последовательно находим:
Заметим, что в (5) равно n строк (i-я строка отсутствует), причем значения первых i строк положительны, а остальных — отрицательны. Используя (5), получаем
С учетом представлений (4) и (6) формула Лагранжа (2) для равноотстоящих узлов принимает вид
Пример 1. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной своими значениями на равноотстоящих узлах (n = 2, h = 1):
Другое определение: говорят, что численный метод имеет порядок точности d, если его остаток Rn равен нулю для любого полинома степени d, но не равен нулю для полинома степени d+1
Очевидно, что метод левых (или правых) прямоугольников (ССЫЛКА ТУТ) имеет порядок точности 0, метод трапеций — 1 (ССЫЛКА ТУТ) , метод Рунге — Кутты (ССЫЛКА ТУТ) (решения дифференциалных уравнений) четвёртого порядка — 4. Широко известный метод Гаусса (ССЫЛКА ТУТ) по пяти точкам имеет порядок точности 9. Менее очевидно, но легко показывается, что порядок точности метода трапеций — 2, а метода Симпсона — 4 (ССЫЛКА ТУТ).
Загрузка...
