Построение сечения шестиугольной призмы

В правильной шестиугольной призме A…F₁ все ребра равны 1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A₁, B₁ и C.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой A₁B₁.

а) Пусть α плоскость образованная точками A₁, B₁ и C. Ребро А₁В₁ принадлежит α .

Прямая FC параллельна прямой А₁В₁, точки А₁, В₁ и С принадлежат плоскости α , следовательно F∈α . Точки F и С принадлежат плоскости α и грани (ABCDEF), следовательно α пересекается с гранью (ABCDEF) по прямой FC.

Таким образом трапеция A₁B₁CF и будет сечением призмы плоскостью α , которой принадлежат точки A₁, B₁ и C.

б) Построим прямую СН перпендикулярную прямой А₁В₁, где точка Н является точкой пересечения этих двух прямых. Так как СН⊥А₁В₁ и Н∈А₁В₁, то длина отрезка СН равна расстоянию от точки С до прямой А₁В₁.

Рассмотрим сечение A₁B₁CF. A₁B₁CF — равнобедренная трапеция. A₁B₁=1.

FC — диагональ правильного шестиугольника, сторона которого равна 1.

Так как A₁B₁CF равнобедренная трапеция, то

Разделы: Математика

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

1. Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.
2. В задачах используются в основном простейшие многогранники.
3. Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

• что значит построить сечение многогранника плоскостью;
• как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
• как задается плоскость;
• когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

• тремя точками;
• прямой и точкой;
• двумя параллельными прямыми;
• двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

1. Метод следов.
2. Метод вспомогательных сечений.
3. Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
• построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
• построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

В федеральный перечень учебников по геометрии для 10-11 класов входят учебники авторов:

• Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др (Геометрия, 10-11);
• Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
• Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И. (Геометрия, 10-11);
• Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
• Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение сечений многогранников” выделено два часа. В 10 классе в теме “Параллельность прямых и плоскостей” после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа “Задачи на построение сечений”. Рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых и плоскостей” завершается решением задач на одном или двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение сечений отводится около трех часов в главе “Многогранники”: один – на изучение темы “Изображение призмы и построение ее сечений”, второй – на изучение темы “Построение пирамиды и ее плоских сечений” и третий – на решение задач. В списке задач, приведенных после темы, задач на сечение насчитывается всего около десяти.

Мы предлагаем систему уроков по теме “Построение сечений многогранников” для учебника Погорелова А.В.

Материал предлагается расположить в той последовательности, в какой он может применяться для обучения учащихся. Из изложения темы “Многогранники” предлагается исключить следующие параграфы: “Построение сечений призмы” и “Построение сечений пирамиды” с тем, чтобы систематизировать данный материал в конце этой темы “Многогранники”. Классифицировать его по тематике задач с примерным соблюдением принципа “от простого к сложному” можно весьма условно следующим образом:

1. Определение сечения многогранников.
2. Построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов. (Как правило в школьном курсе стереометрии используются задачи на построение сечений многогранников, решаемые основными методами. Остальные методы, в связи с их более высоким уровнем сложности, учитель может оставить для рассмотрения на факультативных занятиях или на самостоятельное изучение. В задачах на построение основными методами требуется построить плоскость сечения, проходящую через три точки).
3. Нахождение площади сечений в многогранниках (без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
4. Нахождение площади сечений в многогранниках (с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.

(система уроков и факультативных занятий по теме “Построение сечений многогранников”)

Тема урока: “Построение сечений многогранников”.

Цель урока: ознакомление с методами построений сечений многогранников.

В данной презентации доходчиво, пошагово показаны примеры построения сечений от простых задач к более сложным. Анимация позволяет увидеть этапы построения сечений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Построение сечений многогранников на примере пр измы ® Создатели : Антон Дмитриев, Киреев Александр. При содействии: Гудковой Ольги Викторовны

План урока Алгоритмы построения сечений Самопроверка Демонстрационные задачи Задачи для закрепления материала

Алгоритмы построения сечений следов параллельных прямых параллельного переноса секущей плоскости внутреннего проектирования комбинированный метод дополнения n -угольной призмы до треугольной призмы Построение сечения методом :

Построение сечения методом следов Основные понятия и умения Построение следа прямой на плоскости Построение следа секущей плоскости Построение сечения

Алгоритм построения сечения методом следов Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения). Построить след сечения на плоскости основания многогранника. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом). Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани. Выполнить п.1.

Построение сечения призмы Двух точек принадлежащих одной грани нет. Точка R лежит в плоскости основания. Найдем след прямой KQ на плоскости основания: — KQ ∩K1Q1=T1, T1R- след сечения. 3. T1R ∩CD=E. 4. Проведем EQ. EQ∩DD1=N. 5. Проведем NK. NK ∩AA1=M. 6. Соединяем M и R . Построить сечение плоскостью α , проходящей через точки K,Q,R; K є ADD1, Q є CDD1, R є AB.

Метод параллельных прямых В основу метода положено свойство параллельных плоскостей: «Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Основные умения и понятия Построение плоскости параллельной данной Построение линии пересечения плоскостей Построение сечения

Алгоритм построения сечения методом параллельных прямых. Строим проекции точек, определяющих сечение. Через две данные точки (например P и Q ) и их проекции проводим плоскость. Через третью точку (например R) строим параллельную ей плоскость α . Находим линии пересечения (например m и n) плоскости α с гранями многогранника содержащими точки P и Q . Через точку R проводим прямую а параллельную PQ . Находим точки пересечения прямой а с прямыми m и n. Находим точки пересечения с ребрами соответствующей грани.

(ПРИЗМА) Строим проекции точек P и Q на плоскости верхнего и нижнего оснований. Проводим плоскость P1Q1Q2P2. Через ребро, содержащее точку R, проводим плоскость α параллельную P1Q1Q2. Находим линии пересечения плоскостей ABB1 и CDD1 с плоскость α . Через точку R проводим прямую a||PQ . a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR – искомое сечение. Построить сечение плоскостью α , проходящей через точки P,Q,R; P є ABB1, Q є CDD1, R є EE1.

Метод параллельного переноса секущей плоскости Строим вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворяет следующим требованиям: оно параллельно секущей плоскости; в пересечении с поверхностью данного многогранника образует треугольник. Соединяем проекцию вершины треугольника с вершинами той грани многогранника, которую пересекает вспомогательное сечение, и находим точки пересечения со стороной треугольника, лежащей в этой грани. Соединяем вершину треугольника с этими точками. Через точку искомого сечения проводим прямые параллельные построенным отрезкам в предыдущем пункте и находим точки пересечения с ребрами многогранника.

ПРИЗМА R є AA1, P є EDD1, Q є CDD1. Построим вспомогательное сечение AMQ1 ||RPQ. Проведем AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1- проекция точек Р и М на АВС. Проведем Р1В и Р1С. Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Через точку Р проведем прямые m и n соответственно параллельные МО1 и МО2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – искомое сечение Построить сечение призмы плоскостью α , проходящей через точки P,Q,R; P є EDD1, Q є CDD1, R є AA1 .

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования. Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения. Построить след сечения на ребре многогранника. Если точек сечения не хватает для построения самого сечения повторить пп.1-2.

Построение вспомогательных сечений. ПРИЗМА Параллельное проектирование .

Построение следа сечения на ребре

Комбинированный метод. Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой р провести плоскость β . В плоскости β через точку W провести прямую q‘ параллельную q . Пересекающимися прямыми p и q‘ определяется плоскость α . Непосредственное построение сечения многогранника плоскостью α Суть метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом. Применяется для построения сечения многогранника с условием параллельности. 1. Построение сечения многогранника плоскостью α , проходящей через заданную прямую p параллельно другой заданной прямой q .

ПРИЗМА Построить сечение призмы плоскостью α , проходящей через прямую PQ параллельно AE1; P є BE, Q є E1C1. 1. Проведем плоскость через прямую AE1 и точку P. 2. В плоскости AE1P через точку P проведем прямую q’ параллельную AE1. q’∩E1S’=K. 3. Пересекающимися прямыми PQ и PK определяется искомая плоскость α. 4. P1 и K1- проекции точек Р и К на А1В1С1. P1K1∩PK=S”. S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL-искомое сечение.

Метод дополнения n -угольной призмы(пирамиды) до треугольной призмы(пирамиды). Данная призма(пирамида) достраивается до треугольной призмы(пирамиды) из тех граней на боковых ребрах или гранях которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение полученной треугольной призмы(пирамиды). Искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы(пирамиды).

Основные понятия и умения Построение вспомогатель- ных сечений Построение следа сечения на ребре Построение сечения Центральное проектирование Параллельное проектирование

ПРИЗМА Q є BB1C1C, P є AA1, R є EDD1E1. Достраиваем призму до треугольной. Для этого продлим стороны нижнего основания: AE, BC, ED и верхнего основания: A 1 E 1 , B 1 C 1 , E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1∩B1C1=K1, E1D1∩B1C1=L1. Строим сечение полученной призмы KLEK1L1E1 плоскостью PQR , используя метод внутреннего проектирования. Это сечение является частью искомого. Строим искомое сечение.

Правило для самоконтроля Если многогранник выпуклый, то сечение выпуклый многоугольник. Вершины многоугольника всегда лежат на ребрах многогранника. Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении. Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении. Две стороны многоугольника, который получится в сечении, не могут принадлежать одной грани многогранника. Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

Базовые задачи на построение сечений многогранников Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является линией пересечения этих плоскостей. M є AD, N є DCC1, D1 ; ABCDA1B1C1D1- куб M є ADD1, D1 є ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. M є ABC, Q є ABC, MQ. II. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. M є CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб. MK||AD1, K є BC. M є DCC1, D1 є DCC1, MD1. A є ABC, K є ABC, AK.

III. Общая точка трех плоскостей (вершина трехгранного угла) является общей точкой линий их парного пересечения (ребер трехгранного угла). M є AB, N є AA1, K є A1D1; ABCDA1B1C1D1- куб. NK∩AD=F1 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 — вершина трехгранного угла образованного плоскостями α , D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1- призма. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Соединяем A1,P и C.

V. Если прямая лежит в плоскости сечения, то точка ее пересечения с плоскостью грани многогранника является вершиной трехгранного угла, образованного сечением, гранью и вспомогательной плоскостью, содержащей данную прямую. M є A1B1C1, K є BCC1, N є ABC; ABCDA1B1C1- параллелепипед. 1 . Вспомогательная плоскость MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S- вершина трехгранного угла образованного плоскостями : α , ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Задачи . На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью ABC ? Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? Какие аксиомы и теоремы вы применяли? Сделайте вывод, как построить сечение в кубе? Давайте вспомним этапы построения сечений тетраэдра (параллелепипеда, куба). Какие многоугольники могут при этом получиться?