Построить линии заданные уравнениями в полярных координатах

Содержание

1 Введите график функции
2 Полярная система координат: решения онлайн

Введите график функции

Важно phi должно лежать в правильном промежутке, иначе график не сможет построиться

Построим график функции в полярных координатах r=r(φ),
где Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число — "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые в полярной системе координат: табуляция функции, построение графика, переход к уравнению в декартовой системе координат т.п.

Основные этапы при работе с кривой, заданной в полярной системе координат, такие:

1. Построить полярную систему координат (изобразить полюс, полярную ось и угловые направления). Обычно строят вспомогательные лучи через $pi/6$ или $pi/8$ радиан, для большинства кривых этих точек (получается от $0$ до $2pi$ помещается 12 или 16 значений) вполне достаточно.
2. Табулируем кривую: берем последовательно все углы $phi$ (см. выше): $0$, $pi/8$, $pi/4$, $3pi/8$. и в каждой точке вычисляем значение $
ho(phi)$. Заносим значения в таблицу.
3. Берем начерченную в первом пункте полярную систему координат и наносим точки. На полярной оси отмеряем значние $
ho(0)$, на луче $pi/8$ — $
ho(pi/8)$ и так далее.
4. Соединяем все точки плавной линией. Получается искомая кривая. Для проверки правильности можно построить дополнительно график с помощью онлайн-сервисов.
5. Если требуется найти уравнение кривой в декартовой системе координат, подставляем подходящие формулы $
ho=sqrt$, $x=
hocos phi$, $y=
hosin phi$ и преобразуем.

Более подробно — в примерах ниже. Удачного изучения!

Полярная система координат: решения онлайн

Задача 1. Построить следующие кривые в полярной системе координат: Лемниската Бернулли $
ho^2=2cos 2phi$ (полюс помещен в точку О).

Задача 2. Построить по точкам кривую, заданную уравнением в полярной системе координат $
ho=2sin 2phi$. Найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось $Ox$ с полярной осью.

Задача 3. Дана линия своим уравнением в полярной системе координат $r=8 sin phi$. Требуется:
1) построить линию по точкам, давая $phi$ значения через $pi/6$, начиная с 0 до $2pi$.
2) Найти уравнение этой линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью.

Задача 4. Линия задана уравнением $r=18/(4+5cos phi)$ в полярной системе координат. Требуется:
Построить линию по точкам, начиная от 0 до $2pi$ и придавая $phi$ значения через промежуток $pi/8$.
Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
Назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах и непрерывно принимает значения от 0 до (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от до ). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции , соответствует единственное значение полярного радиуса.

Примером полярной кривой является Архимедова спираль . На следующем рисунке изображен её первый виток — когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до :

Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением для .Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

Изменения параметра приводят к повороту спирали, а параметра — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для а другую для . Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Круг, заданный уравнением .

Общее уравнение окружности с центром в () и радиусом имеет вид:

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом . [14]

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением где — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, где — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую в точке определяется уравнением

Полярная роза задана уравнением

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах: для произвольной постоянной (включая 0). Если — целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечётных , либо с лепестками для чётных . Если — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном мы будем иметь -лепестковую розу. Таким образом, уравнение будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

— является частным случаем полярной розы.

Трехлепестковая роза задается уравнением

Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

где — эксцентриситет, а — фокальный параметр. Если , это уравнение определяет гиперболу; если , то параболу; если , то эллипс. Отдельным случаем является , определяющее окружность с радиусом .

Лемнискамта (от лат. lemniscatus — «украшенный лентами») — плоская алгебраическая кривая порядка , у которой произведение расстояний от каждой точки до заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется , расположены они на оси , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

· в прямоугольных координатах:

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

· в полярных координатах:

-плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом [1] . Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали.

Пусть — радиус окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности. Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах:

В прямоугольных координатах:

В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

В полярных координатах [2][1] :

(от греч. буфспн — звезда и ейдпт — вид, то есть звездообразная) [1] — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем k =4.

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

Астроида также является алгебраической кривой рода 1 (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

Пример 2.3.Составить уравнение прямой линии в полярных координатах.

Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось совместим с положительной полуосью абсцисс (см. рис. 17).

Возьмем уравнение прямой в нормальном виде

Формулы перехода имеют вид

Подставив в это уравнение значения x и y из формулы (2.1), получим ,или, откуда , и окончательно .

В этом уравнении постоянными величинами являются p и , величины же r и — переменные: это текущие полярные координаты точки на прямой (последняя формула может быть получена также из чертежа).

Пример 2.4. Построить кривую r = a cos 2ц и найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.

Будем давать значения полярному углу от до через промежуток и вычислим соответствующие значения r. Найденные значения поместим в таблицу. Примем произвольный отрезок за единицу масштаба, которой будем пользоваться при построении r. По значениямr и из таблицы построим точки, соответствующие каждой паре чисел r и , и соединим их плавной кривой.

— a

Построение кривой показано на следующих рисунках:

На рисунке кривые, построенные на различных этапах, соединены в одну. Полученная кривая называется четырехлепестковой розой.

Теперь найдем уравнение четырехлепесковой розы в прямоугольной системе координат, причем напоминаем, что начало прямоугольной системы координат помещено в полюс полярной системы координат, а ось абсцисс направлена вдоль полярной оси.

Учитывая, что , уравнение четырехлепестковой розы перепишем в виде . Подставляя сюда формулы перехода

Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получим окончательно

Пример 2.5. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

1) построить линию по точкам начиная с до и придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью;
3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.