Признаки параллельности плоскостей имеет следующее определение: две произвольные пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
В проективном пространстве две плоскости пересекаются по прямой — собственной или несобственной. Во втором случае плоскости принято называть параллельными.
Используя признаки параллельности плоскостей, можно получить простой графический способ решения задачи по построению плоскости, параллельной заданной.
Провести через точку K плоскость β параллельную плоскости α(a║b)
Алгоритм решения задачи: — для построения плоскости β мы вправе, взять одну прямую m(m`, m") из пересекающихся прямых, проходящих через точку K(K`, K") и параллельных плоскости α — например параллельной прямым a и b. — согласно же условию параллельности плоскостей, в плоскости α необходимо иметь пересекающиеся прямые. Для этого строим прямую 1-2. — далее проводим через точку K(K`, K") вторую из пересекащихся прямых плоскости β — прямую n(n`, n") параллельно прямой 1-2.
Провести через точку K плоскость β параллельную данной плоскости α, выразив ее следами
Здесь следы плоскости βH и βV- это две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым αH и αV заданной плоскости α.
Провести через точку S плоскость α параллельную плоскости треугольника ABC, выразив ее следами
Здесь следы плоскости αH и αV построены по следам двух прямым m и n, пересекающихся в точке S и при этом параллельных сторонам AB и BC треугольника соответственно.
Для того чтобы провести через точку А прямую параллельную плоскости α необходимо:
1) в плоскости α выбрать или построить произвольную прямую;
2) через точку А провести новую прямую параллельную выбранной прямой.
Для того чтобы проверить, параллельна ли прямая плоскости необходимо попытаться в заданной плоскости построить прямую параллельную заданной. Если это удастся, то прямая и плоскость параллельны.
Алгоритм построения перпендикуляра к плоскости
| Вербальная форма | Графическая форма |
| 1. Для того чтобы построить перпендикуляр к плоскости Р(DАВС) через точку D, необходимо сначала построить любую горизонталь в данной плоскости Р(D АВС) – h (h1h2) |  |
| 2. Строим фронталь в плоскости Р(D АВС) – f ( f1f2) |  |
3. Строим перпендикуляр n к плоскости Р(DАВС). Для этого через точку D2 проводим n2, перпендикулярно f2, а через D1проводим n1, перпендикулярно h1. n (n1n2) ^Р (DАВС), так как n1^h1; h1  P1 ( DА1В1С1) n2^f2; f2 P2 (DА2В2С2) |
 |
Построение чертежа двух параллельных плоскостей основано на теореме стереометрии: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, чтобы построить плоскость Г’, параллельную плоскости Г(АВС), достаточно провести через точку М две прямые, соответственно параллельные каким-нибудь двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости Г, например сторонам (АВ) и (ВС) (рис. 4.8).
Рис. 4.8
Плоскость Г'(а 
b) параллельна плоскости Г(АВС), так как а 
(АВ) и b (ВС). Можно задать новую плоскость какими-нибудь другими пересекающимися прямыми, например горизонталью и фронталью, соответственно параллельными горизонтали и фронтали плоскости Г(АВС). Такая плоскость на рис. 4.8 проведена через точку N — плоскость 
(h’ f’) параллельна плоскости Г(АВС), так как h’ h и f’ f.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10797 — 
| 7379 — 
или читать все.
Пусть дается точка К, через которую надо провести плоскость, параллельную некоторой плоскости, заданной пересекающимися прямыми AF и BF (рис. 182).
Очевидно, если через точку К провести прямые СК и DK, соответственно параллельные прямым AF и BF, то плоскость, определяемая прямыми СК и DK, окажется параллельной заданной плоскости.
Другой пример построения дан на рис. 183 справа. Через точку А проведена пл. β параллельно пл. α. Сначала через точку А проведена прямая, заведомо параллельная пл. α. Это горизонталь с проекциями A"N" и A’N’, причем A’N’||h’0α. Так
как точка N является фронтальным следом горизонтали AN, то через эту точку пройдет след f"0β||f"0α, а через Xβ — след h’0β||h’0α. Плоскости β и α взаимно параллельны, так как их одноименные пересекающиеся следы взаимно параллельны.
На рис. 184 изображены две параллельные между собой плоскости — одна из них задана треугольником АВС, другая — параллельными прямыми DE и FG. Чем же устанавливается параллельность этих плоскостей? Тем, что в плоскости, заданной прямыми DE и FG, оказалось возможным провести две пересекающиеся
прямые KN и КМ, соответственно параллельные пересекающимся прямым АС и ВС другой плоскости.
Конечно, можно было бы попытаться найти точку пересечения хотя бы прямой DE с плоскостью треугольника АВС. Неудача подтвердила бы параллельность плоскостей.
Загрузка...
