Построить точки заданные полярными координатами

Полярная система координат.

Познакомимся теПерь с Полярной системой координат. Эта система состоит из некоторой точки о, называемой Полюсом , и исходящего из нее луча ое, называемого Полярной осью . кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана Полярная система координат и Пусть точка м — Произвольная точка Плоскости. обозначим через p расстояние ом, а через f — угол, на который нужно Повернуть Против часовой стрелки Полярную ось для совмещения с лучом ом.

Полярными координатами точки м называются числа p иf?. число p считают Первой координатой и называют Полярным радиусом , число f — второй координатой и называют Полярным углом .

точка м с Полярными координатами p и f обозначается так: м(p;f). обычно считают, что Полярные координаты p и f изменяются в следующих Пределах: p — от нуля до бесконечности, f — от нуля до 2П.

однако в ряде случаев Приходится рассматривать углы, большие 2П, а также отрицательные углы, т.е. углы, отсчитываемые от Полярной оси По часовой стрелке.

Пример 1. Построить точки, заданные Полярными координатами: а(2;П / 2), в(3;П / 4), с(3;3П / 4), D(4;0), F(2;3 ?П 2), P (3;П).

решение. Построим точку а(2;П / 2). введем Полярную систему координат. из точки о Проведем луч Под углом f=П/2 к Полярной оси и отметим на нем точку а с координатой р=2. Получаем искомую точку а. остальные точки строятся аналогично.

установим связь между Полярными координатами точки и ее Прямоугольными координатами. При Этом будем ПредПолагать, что начало Прямоугольной системы координат совПадает с Полюсом, а Положительная Полуось абсцисс — с Полярной осью. Пусть точка м имеет Прямоугольные координаты х и у и Полярные координаты p и f.

очевидно, х=p cOsf , y=p sinf . (1)

с Помощью данных формул Прямоугольные координаты точки выражаются через Полярные, а выражение Полярных координат через Прямоугольные выражается следующим образом:

При Этом формула (3) оПределяет два значения Полярного угла f, так как f изменяется от 0 до 2П. из Этих двух значений угла F выбирают то, При котором удовлетворяются равенства (1).

расстояние между точками a(p 1 ; f 1 ) b(p 2 ; f 2 ) , заданными в Полярных координатах, находится По формуле:

Пример 2. в Прямоугольной системе координат дана точка (2;2). найти ее Полярные координаты, считая, что Полюс совмещен с началом Прямоугольной системы координат, а Полярная ось совПадает с Положительной Полуосью абсцисс.

решение . По формулам (2) и (3) находим p=2v2, tgf =1. согласно равенству (3), f=П /4 или f=3П / 4. так как х>0, у>0, то следует взять f =П /4 . итак, p=2v2, f=П / 4.

Пример 3. в Полярной системе координат дана точка (2;П / 4). найти ее Прямоугольные координаты, считая, что Полюс совмещен с началом Прямоугольной системы координат, а Полярная ось совПадает с Положительной Полуосью абсцисс.

решение. По формулам (1) находим: x=2 cOsП /4= v 2, y=2 sinП /4= v 2. следовательно, х=v2, у=v2.

Пример 4. найти Полярное уравнение Прямой у=1.

решение. Подставив у=1 во вторую из формул (1), Получим 1=p sinf , откуда p= 1 / sinf . Это и есть искомое уравнение Прямой.

1. в Прямоугольной системе координат даны точки а(0;5), в(-3;0), с(v3;1). найдите их Полярные координаты. (ответ: а(5;П / 2), в(3;П), с(2;П / 6)).
2. в Полярной системе координат даны точки а(4;П / 2) и в(8;-П / 4). найдите их Прямоугольные координаты. (ответ: а(0;4), в(4v3;-4)).
3. в Полярной системе координат даны точки а(8;2П / 3) и в(6;П / 3). найдите Полярные координаты середины отрезка ав. (ответ: (1;2П / 3)).
4. в Полярной системе координат даны точки а(3;П / 6) и в(5;2П / 3). найдите расстояние между ними. (ответ:v34).
5. одна из вершин треугольника оав совПадает с Полюсом, двумя другими вершинами являются точки а(5;П / 4) и в(4;П / 12). найдите Площадь треугольника оав. (ответ: 5).
6. найдите Площадь треугольника, вершинами которого являются точки а(3;П / 8), в(8;7?П24) и с(6;5П / 8). (ответ: 3(4v3 — 1)).
7. в Полярной системе координат дана точка (10;П / 6). найдите ее Прямоугольные координаты, если известно, что Полюс находится в точке (2;3), а Полярная ось Параллельна оси абсцисс. (ответ: (2+5v3;8)).

Автор: Вяликова Мария Владимировна — учитель математики и информатики высшей квалификационной категории МАОУ Пролетарская СОШ Новгородского района Новгородской области

Полярная система координат: основные понятия и обозначения

Если уж речь зашла о полярной системе координат, то вообразите себя полярниками, стоящими на Северном полюсе. Или на Южном (это не так важно). Пусть в точке полюса находится начало линейки. В точку полюса также положим начало карандаша, а весь карандаш полностью прилегает к линейке. Теперь повернём карандаш так, чтобы его начало оставалось там же, на полюсе, а между ним и линейкой образовался некоторый угол поворота. Конец карандаша оказался в некоторой точке, назовём её M. Вот мы и получили полярные координаты точки M: длина карандаша и угол, на который был повёрнут карандаш. А теперь об этом же в более строгих и точных определениях.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки O, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA (обозначается также и как Ox), называемого полярной осью, и масштаба для изменения длин. Кроме того, при задании полярной системы координат должно быть определено, какие повороты вокруг точки O считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Итак, выберем на плоскости (рисунок выше) некоторую точку O (полюс) и некоторый выходящий из неё луч Ox. Кроме того, укажем единицу масштаба. Полярными координатами точки M называются два числа ρ и φ, первое из которых (полярный радиус ρ) равно расстоянию точки M от полюса O, а второе (полярный угол φ, который называют также амплитудой) — угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM.

Точку M с полярными координатами ρ и φ обозначают символом M(ρ, φ) .

Связь полярных координат с декартововыми координатами

Установим связь между полярными координатами точки и её декартовыми координатами. Будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка M имеет декартовы координаты x и y и полярные координаты ρ и φ.Тогда

Полярные координаты ρ и φ точки M определяются по её декартовым координатам следующим образом:

.

Для того, чтобы найти величину угла φ, нужно, используя знаки x и y, определить квадрант, в котором находится точка M, и, кроме того, воспользоваться тем, что тангенс угла φ равен .

Приведённые выше формулы называются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Одно из наиболее частых применений полярных координат в высшей математике — решения двойных интегралов в полярных координатах.

Задачи о точках в полярной системе координат

Пример 1. В полярной системе координат на плоскости даны точки

Найти полярные координаты точек, симметричных этим точкам относительно полярной оси.

Решение. При симметрии длина луча не меняется. Следовательно, первая координата — длина луча — у симметричной относительно полярной оси точки будет как и у данной точки. Как видно из рисунка в начале урока, при построении симметричной относительно полярной оси точки данную точку нужно повернуть вокруг полярной оси на тот же угол φ. Следовательно, в полярной системе координат второй координатой симметричной точки будет угол для исходной точки, взятый с противоположным знаком, то есть -φ. Итак, полярные координаты точки, симметричной данной относительно полярной оси будут отличаться лишь второй координатой, и эта координата будет с противоположным знаком. Полярные координаты искомых симметричных точек будут следующими:

Пример 2. В полярной системе координат на плоскости даны точки

Найти полярные координаты точек, симметричных этим точкам относительно полюса.

Решение. При симметрии длина луча не меняется. Следовательно, первая координата — длина луча — у симметричной относительно полюса точки будет как и у данной точки. Симметричная относительно полюса точка получается вращением исходной точки на 180 градусов против часовой стрелки, то есть на угол π. Следовательно, вторая координата точки, симметричной данной относительно полюса рассчитывается как φ + π (если в результате получится числитель больше знаменателя, то вычтем из полученного числа один полный оборот, то есть 2π). Получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно полюса:

Пример 3. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки

Найти декартовы координаты этих точек.

Решение. Используем формулы перехода от полярных координат к декартовым:

Получаем следующие декартовы координаты данных точек:

Пример 4. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки

Найти полярные координаты этих точек.

Решение. Определяем первую из полярных координат по формуле , а тангенс угла φ — второй из полярных координат как . Получаем следующие полярные координаты данных точек:

Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки , называемой полюсом , и полупрямой , называемой полярной осью . Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор , приложенный к точке , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28,а).

Положение точки в полярной системе координат определяется расстоянием ( полярным радиусом ) от точки до полюса (т.е. ) и углом ( полярным углом ) между полярной осью и вектором . Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки , что записывается в виде . Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

— в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

— в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения . Полярный угол определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения , называемыми главными значениями полярного угла . В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых , где . В этом случае значениям полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус-вектора.

С полярной системой координат можно связать прямоугольную систему координат , начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат <связанную с данной прямоугольной).

Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки , отличной от точки , и ее полярные координаты . По рис.2.28,б получаем

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:

Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых , где . При из них следует, что . Главное значение полярного угла находится по формулам (рис.2.29):

Пример 2.9. В полярной системе координат :

а) изобразить координатные линии ;

б) изобразить точки с полярными координатами . Найти главные значения полярных углов этих точек;

в) найти прямоугольные координаты точек .

Решение. а) Координатные линии представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии и — полупрямые (рис.2.30,а).

б) Построим точки и (рис.2.30,б,в). Их координаты отличаются полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение . Следовательно, это одна и та же точка, которая совпадает с точкой , изображенной на рис.2.30,а.

в) Учитывая пункт "б", найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.17) получаем:

1. Главное значение полярного угла можно выбрать иначе, например, .

2. Расстояние между двумя точками и (длина отрезка ) вычисляется по формуле

что следует из теоремы косинусов (рис.2.31).

3. Ориентированная площадь параллелограмма (рис.2.31), построенного на радиус-векторах и , находится по формуле

Она положительна, если (при этом ориентация пары радиус- векторов и правая), и отрицательна, если varphi_2" png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAEcAAAASBAMAAAD73d5oAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMAwPxBoV0BgTEhELHR4JFxAbyQhgAAASJJREFUKM9jYCAdsEYRoyqmCqvwUgYGa1E4jy3mJczQCQzLRRZAOY8ZWBUPTUCoCvSEMGYzcJ0VcoCwOQUY1jZwFyAZbegBppwZ+Bw41CBC/AFALjuyIgZrCZCJxxgmMjBAFTFO4NrAwGLAwIlQNAWkiNkB6BCgNcYgZzE2sAYw9CSYX0cYJJwAVsQmwMAdsO7LDSCHbxt3A8dlhpniM /> (ориентация пары радиус-векторов и левая).

Пример 2.10. Даны полярные координаты и точек и (рис.2.32). Требуется найти:

а) скалярное произведение ;

б) длину отрезка ;

в) внешнее произведение ;

г) площадь треугольника ;

д) координаты середины отрезка в прямоугольной системе координат, связанной с данной полярной.

Решение. а) По определению скалярного произведения находим

б) Находим длину отрезка (см. пункт 2 замечаний 2.8):

в) Внешнее произведение находим как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

Площадь положительная, так как векторы и образуют правую пару .

г) Площадь треугольника находим как половину площади параллелограмма, построенного на радиус-векторах и .

д) По формулам (2.17) находим прямоугольные координаты точек и :

а затем координаты середины отрезка (см. пункт 3 замечаний 2.1):

Пример 2.11. На координатной плоскости отмечена точка . Найти:

а) полярные координаты точки , образа точки при повороте радиус-вектора на угол вокруг начала координат (рис.2.33);

б) полярные координаты точки , образа точки при инверсии плоскости относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат (см. пример б преобразований плоскости в разд. 2.2.4).

Решение. а) Найдем полярные координаты точки . По формулам (2.17), учитывая рис.2.29, получаем:

так как точка лежит в четверти.

При повороте радиус-вектора вокруг полюса на угол полярный радиус не изменяется, а полярный угол увеличивается. Следовательно, полярные координаты точки : , , причем — главное значение полярного угла .

б) При инверсии относительно окружности радиуса полярные координаты образа выражаются через полярные координаты прообраза следующими формулами:

Поэтому, учитывая пункт "а", находим (для ):