Постройте сечение четырехугольной пирамиды pabcd

пУОПЧБОЙЕ ЮЕФЩТЈИХЗПМШОПК РЙТБНЙДЩ SABCD – РБТБММЕМПЗТБНН ABCD . 1) рПУФТПКФЕ УЕЮЕОЙЕ РЙТБНЙДЩ РМПУЛПУФША, РТПИПДСЭЕК ЮЕТЕЪ УЕТЕДЙОХ ТЕВТБ AB РБТБММЕМШОП РМПУЛПУФЙ SAD . 2) оБКДЙФЕ РМПЭБДШ РПМХЮЕООПЗП УЕЮЕОЙС, ЕУМЙ РМПЭБДШ ЗТБОЙ SAD ТБЧОБ 16.

тЕЫЕОЙЕ

1) рХУФШ M – УЕТЕДЙОБ ТЕВТБ AB . рП ФЕПТЕНЕ П РЕТЕУЕЮЕОЙЙ ДЧХИ РБТБММЕМШОЩИ РМПУЛПУФЕК ФТЕФШЕК УЕЛХЭБС РМПУЛПУФШ РЕТЕУЕЛБЕФ РМПУЛПУФШ ЗТБОЙ ASB РП РТСНПК, РБТБММЕМШОПК AS , Ф.Е. РП УТЕДОЕК МЙОЙЙ MN ФТЕХЗПМШОЙЛБ ASB . бОБМПЗЙЮОП, УЕЛХЭБС РМПУЛПУФШ РЕТЕУЕЛБЕФ ЗТБОЙ ABCD Й CSD РП РТСНЩН, РБТБММЕМШОЩН AD Й SD УППФЧЕФУФЧЕООП. фПЗДБ ФПЮЛЙ N , L Й K РЕТЕУЕЮЕОЙС УЕЛХЭЕК РМПУЛПУФЙ У ТЈВТБНЙ SB , CD Й SC – УЕТЕДЙОЩ ПФТЕЪЛПЧ SB , CD Й SC УППФЧЕФУФЧЕООП, Б ЙУЛПНПЕ УЕЮЕОЙЕ – ФТБРЕГЙС MNKL . 2) рХУФШ РТСНЩЕ MN Й LK , МЕЦБЭЙЕ Ч УЕЛХЭЕК РМПУЛПУФЙ, РЕТЕУЕЛБАФУС Ч ФПЮЛЕ Q . фПЗДБ ФПЮЛБ Q МЕЦЙФ ОБ РТСНПК РЕТЕУЕЮЕОЙС РМПУЛПУФЕК ASB Й CSD , РТПЧЕДЈООЩИ ЮЕТЕЪ ДЧЕ РБТБММЕМШОЩЕ РТСНЩЕ AB Й CD , Ф.Е. ОБ РТСНПК, РТПИПДСЭЕК ЮЕТЕЪ ФПЮЛХ S РБТБММЕМШОП РТСНЩН AB Й CD . фТЕХЗПМШОЙЛ MQL ТБЧЕО ФТЕХЗПМШОЙЛХ ASD (РП ФТЈН УФПТПОБН), Б NK – УТЕДОСС МЙОЙС ФТЕХЗПМШОЙЛБ MQL (Ф.Л. NK || ML Й NK = BC = ML ). фТЕХЗПМШОЙЛ NQK РПДПВЕО ФТЕХЗПМШОЙЛХ MQL У ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПН , РПЬФПНХ
S_{Δ NQK} = S_{Δ MQL} = S_{Δ ASD} = = 4.
уМЕДПЧБФЕМШОП,
S_MNKL = S_{Δ MQL} — S_{Δ NQK} = 16 — 4 = 12.

пФЧЕФ

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 6, точка K ― середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной плоскости BCP.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.

а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой BP до пересечения ее с прямой AB в точке G, а в плоскости ABC через точку G проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с прямой DC в точке F. По признаку параллельности двух плоскостей плоскость KFG параллельна плоскости BCP. Прямая FG параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KFG пересекает плоскость APD по прямой, параллельной FG. Обозначим через E точку пересечения этой прямой с ребром DP.

Таким образом, искомое сечение ― трапеция EFGK.

б) Плоскость EFG параллельна плоскости BCP, значит, Проведем высоту PN треугольника BCP и соединим точку N с основанием O высоты пирамиды. По теореме о трех перпендикулярах отрезок ON также перпендикулярен BC, а, значит, угол PNO ― линейный угол двугранного угла PBCO.

Поскольку из прямоугольного треугольника PNO находим откуда окончательно получаем

Ответ:

Аналоги к заданию № 508233: 508254 511582 Все

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB в точке L — середине AB. В основании ABCD через точку L проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с ребром СD в точке M — его середине. По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM и пересекает ребро PD в его середине N.

Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.

б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP, а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD, следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4, KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KF этой трапеции. Тогда и из прямоугольного треугольника KLF находим

Окончательно получаем

Ответ: