Продолжаем рассматривать задачи входящие в ЕГЭ по математике. Мы уже исследовали задачи, где в условии дан составной многогранник и требуется найти расстояние между двумя данными точками либо угол.
Пирамида — это многогранник, основание которого является многоугольником, остальные грани — треугольники, при чём они имеют общую вершину.
Правильная пирамида — это пирамида в основании которой лежит правильный многоугольник, а его вершина проецируется в центр основания.
Правильная четырехугольная пирамида — снованием является квадрат.Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).
ML — апофема
∠MLO — двугранный угол при основании пирамиды
∠MCO — угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды
В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на решение правильной пирамиды. Требуется найти какой-либо элемент, площадь боковой поверхности, объём, высоту. Разумеется, необходимо знать теорему Пифагора, формулу площади боковой поверхности пирамиды, формулу для нахождения объёма пирамиды.
В статье « Общий обзор. Формулы стереометрии! » представлены формулы, которые необходимы для решения задач по стереометрии. Итак, задачи:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 51, AC = 136. Найдите боковое ребро SC .
В данном случае в основании лежит квадрат. Это означает, что диагонали AC и BD равны, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отметим, что в правильной пирамиде высота опущенная из её вершины проходит через центр основания пирамиды. Таким образом, SO является высотой, а треугольник SOC прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:
Как извлекать корень из большого числа описано здесь .
Решите самостоятельно:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SC = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SO.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC.
В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 7, а SR = 16. Найдите площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины):
Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Боковыми гранями в правильной треугольной пирамиде являются равные по площади треугольники. В данном случае:
Решите самостоятельно:
В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.
В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SR.
В правильной треугольной пирамиде SABC L — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 25, объем пирамиды равен 100. Найдите длину отрезка MS.
Основание пирамиды — равносторонний треугольник . Поэтому M является центром основания, а MS — высотой правильной пирамиды SABC . Объем пирамиды SABC равен:
Решите самостоятельно:
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Объем пирамиды равен 1, MS = 1. Найдите площадь треугольника ABC.
На этом закончим. Как видите, задачи решаются в одно-два действия. В будущем рассмотрим с вами другие задачи из данной части, где даны тела вращения, не пропустите!
Задание 8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S— вершина, SD=10, SO=6. Найдите длину отрезка AC.
Центр основания, точка O, находится на пересечении диагоналей AC и BD квадрата ABCD. Соответственно SO – высота пирамиды, так как вершина S в правильной четырехугольной пирамиде проецируется в центр основания. Найдем половину диагонали BD отрезок OD из прямоугольного треугольника SOD по теореме Пифагора, получим:
Известно, что точка O делит диагонали BD и AC пополам, следовательно,
.
8. Самая обыкновенная правильная четырёхугольная пирамида (24.09.2013)
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SO = 20, SD = 25. Найдите длину отрезка BD. 
В правильной четырёхугольной пирамиде основанием является квадрат. Вершина такой пирамиды проектируется в центр квадрата, т.е. в точку пересечения диагоналей. Диагонали квадрата делятся этой точкой пополам. Поэтому точка О — середина BD и SO — высота пирамиды. 
Высота SO перпендикулярна основанию, а значит, и прямой BD основания. Треугольник DSO прямоугольный с катетом SO = 20 и гипотенузой SD = 25. Осталось применить теорему Пифагора, чтобы найти второй катет. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: Половина диагонали равна 15, значит, вся диагональ равна 30. Ответ: 30 Замечу, что теорему Пифагора можно было применить для треугольника подобного данному с коэффициентом подобия, равным 5. 
По гипотенузе 5 и катету 4 легко найти второй катет 3, а затем умножить его на 5.
Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 40954
Комментарии к этой задаче:
Комментарий добавил(а): татьяна
Дата: 2014-02-13
Загрузка...
