Правильный тетраэдр координаты вершин

Пирамиды традиционно считаются сложными фигурами в задаче C2. А уж если в основании пирамиды лежит треугольник (т.е. пирамида становится тетраэдром), то все становится совсем грустно. В общем, если в ЕГЭ по математике вам попадется правильный тетраэдр, примите мои поздравления: это самая мерзкая и сложная фигура, которая встречается на настоящем экзамене.

Тем не менее, после небольшой тренировки все становится вполне решаемо. И в этом уроке мы пошагово разберем каждую вершину тетраэдра и найдем каждую координату. Вы убедитесь: все, что нам действительно надо знать — это две теоремы:

1. Теорема Пифагора — без нее не решается вообще ни одна задача C2, потому что на этой теореме построена сама идея декартовой системы координат;
2. Теорема о медианах. А именно: медианы треугольника пересекаются в одно точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Вот и весь список! Вы знаете эти теоремы? Тогда поехали!

Задача. В правильном тетраэдре SABC , все ребра которого равны 1, введите систему координат и найдите координаты вершин.

[Подпись к рисунку]

Найти координаты вершин тетраэдра OABC в системе координат с началом в вершине O, базисными векторами которой являются медианы OD, OE, OF, граней BOC, COA, AOB.

задан 25 Май ’14 13:46

1 ответ

Вектор $%vec$% равен полусумме векторов $%vec$% и $%vec$%. Аналогично для остальных сторон. Тогда из равенств $%vec=frac12(vec+vec)$%, $%vec=frac12(vec+vec)$%, $%vec=frac12(vec+vec)$%, следует, что $%vec+vec+vec=vec+vec+vec$%. Поэтому вектор$%vec=vec+vec+vec-(vec+vec)=vec+vec+vec-2vec=-vec+vec+vec$% имеет координаты $%(-1;1;1)$% в рассматриваемом базисе. Это координаты вершины $%A$%. Для вершин $%B$% и $%C$% координаты будут равны $%(1;-1;1)$% и $%(1;1;-1)$% соответственно. Координаты точки $%O$% нулевые.

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.