Предел функции двух переменных примеры

Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z=f(x,y,)

Область определения функции z — совокупность пар (х,у), при которых функция z существует.

Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.

График функции двух переменных — множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)

Окрестность точки M0 (х0;y0) радиуса r – совокупность всех точек (x,y), которые удовлетворяют условию 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x, y) – A | 0 найдется δ-окрестность точки (х, у) такая, что для всех (x, y) из этой окрестности, отличных от (х, у), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x, y) окрестности точки (х, у) можно записать в виде х = х + Δх, у = у + Δу, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х, у), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω_х, ω_у) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω_х 2 + ω_у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x, y) за исключением точки х = 0, у = 0. Имеем (учесть, что и ):

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда | f (x, y)| 0, имеет вид

).

Число А называется пределом функции f(M) при М → М, если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М, отличных от М и удовлетворяющих условию | ММ |

Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у. Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y), и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y)число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y)может быть доказана так:

| f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y) | = | f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 0.

Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y) R₂.

Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x,y), очевидно, непрерывная всюду на R₂, за исключением точек (x, y), где Q(x, y) = 0.

может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция

есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по

Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

Теорема. Функция f (x, y), непрерывная в точке (х, у) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х, у) в некоторой окрестности точки (х, у).

По определению функция f (x) = f (x₁, . х_п) непрерывна в точке х 0 =(х 0 ₁, . х 0 _п), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х 0 , и если предел ее в точке х 0 равен ее значению в ней:

(2)

Условие непрерывности f в точке х 0 можно записать в эквивалентной форме:

(2")

т.е. функция f (x) непрерывна в точке х 0 , если непрерывна функция f (х 0 +h) от h в точке h = 0.

Можно ввести приращение f в точке х 0 , соответствующее приращению h = (h₁, . h_п),

и на его языке определить непрерывность f в х 0 : функция f непрерывна в х 0 , если

(2"")

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х 0 функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 ) ≠ 0.

Замечание. Приращение Δ_h f (х 0 ) называют также полным приращением функцииf в точке х 0 .

По определению х 0 = (х 0 ₁, . х 0 _п) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G.

Множество G R_n называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

Множество G называется связным, если любые его две точки х 1 , х 2 можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.

Связное открытое множество называется областью.

Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на R_n (во всех точкахR_n). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству

f (x) > с (или f (x) 0, совпадает с G. Пусть х 0 G, тогда существует шар

| х – х 0 | 0, т.е. он принадлежит к G и точка х 0 G – внутренняя для G.

Решение. Функция z = ln (x 2 + y 2 ) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.

Дата добавления: 2015-11-23 ; просмотров: 4305 | Нарушение авторских прав

Предел функции в точке.

Напомним, что окрестностью (O(x^0)) точки (x^0) в метрическом пространстве (X) называется любое множество, для которого точка (x^0) является внутренней. Проколотая окрестность (dot(x^0)) получается из (O(x^0)) удалением самой точки (x^0), то есть (dot(x^0)=O(x^0)ackslash\).

Будем рассматривать функции (f: M
ightarrow R), где (M) есть некоторое множество, принадлежащее метрическому пространству (X). Если (X=R^n), то функция (f: M
ightarrow R) называется функцией многих переменных и обозначается обычно следующим образом:
$$
f(x)=f(x_1,ldots,x_n),quad xin M.
onumber
$$
Например, функция (displaystyle sqrt<1-x_1^2-x_2^2>) определена в единичном круге пространства (R^2) с центром в точке ((0,0)), а функция (operatorname(x_1^2+x_2^2)) определена в любой проколотой окрестности точки ((0,0)).

Пусть функция (f(x)) определена в проколотой окрестности (dot(x^0)) точки (x^0) метрического пространства (X). Говорят, что число (A) есть предел функции (f(x)) при (x
ightarrow x_0), если (forall varepsilon > 0 exists delta > 0) такое, что для (forall xindot(x^0)), удовлетворяющего условию (
ho(x,x^0) Определение 2.

Говорят, что функция (f(x)), определенная в (dot(x^0)), имеет при (x
ightarrow x_0) предел (A), если для любой последовательности (x^<(k)>indot(x^0)) такой, что (displaystylelim_x^<(k)>=x^0), выполнено равенство (displaystylelim_f(x^<(k)>)=A).

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.

Если число (A) есть предел функции (f(x)) при (x
ightarrow x_0), то будем писать
$$
A=lim_f(x).
onumber
$$

Если функция двух переменных (f(x,y)) определена в (dot((a,b))), a число (A) есть ее предел при ((x,y)
ightarrow(a,b)), то пишут
$$
A=lim_f(x,y)
onumber
$$
и называют иногда число (A) двойным пределом.

Аналогично, для функции (n) переменных наряду с обозначением (A=displaystylelim_f(x)) будем использовать обозначение
$$
A=lim_f(x_1,ldots,x_n).
onumber
$$

Пусть функции (f(x)) и (varphi(x)) определены в (dot(x^0)) и (|f(x)|leq varphi(x)) в (dot(x^0)). Если (displaystylelim_varphi(x)=0), то и (displaystylelim_f(x)=0).

(circ) Так как (displaystylelim_varphi(x)=0), то для любого (varepsilon > 0) найдется шар (S_<delta>(x^0)) такой, что для всех (xin S_<delta>(x^0)) выполнено неравенство (|varphi(x)| Пример 1.

( riangle) Возьмем любое (varepsilon > 0). Положим (delta=varepsilon^<1/(2a)>). Пусть ((x,y)in S_delta(0, 0)), тогда
$$
(x^2+y^2)^a Пример 2.

В силу примера выше (displaystylelim_varphi(x,y)=0.), так как (alpha+eta-2gamma > 0). Применяя лемму 1, получаем, что
$$
lim_f(x,y)=0.
onumber
$$
Что и требовалось доказать. (lacktriangle)

( riangle) Рассмотрим последовательность точек ((x_n,y_n)=displaystyleleft(frac<1>,frac<1>
ight)). Тогда (f(x_n,y_n)=1) и, следовательно, (displaystyle lim_f(x_n,y_n)=1). Если же взять последовательность точек ((x_n’,y_n’)=displaystyleleft(frac<1>,-frac<1>
ight)), то (displaystyle lim_f(x_n’,y_n’)=-1).

Так как при любом (nin mathbb) точки ((x_n,y_n)) и ((x_n’,y_n’)) не совпадают с точкой ((0,0)), а последовательности точек ((x_n,y_n)) и ((x_n’,y_n’)) сходятся к точке ((0,0)), то, используя определение 2 предела, получаем, что функция (f(x,y)) не имеет предела при ((x,y)
ightarrow (0,0)). (lacktriangle)

не имеет предела при ((x,y)
ightarrow (0,0)).

( riangle) Повторяя рассуждения примера 3, построим две последовательности точек ((x_n,y_n)=displaystyleleft(frac<1>,frac<1>
ight)) и ((x_n’,y_n’)=displaystyleleft(frac<1>,frac<1>
ight)). Так как ((x_n,y_n)
ightarrow(0,0)) и ((x_n’,y_n’)
ightarrow(0,0)), а (displaystylelim_f(x_n,y_n)=0) и (displaystylelim_f(x_n’,y_n’)=1), то двойной предел функции (f(x,y)) при ((x,y)
ightarrow(0,0)) не существует. (lacktriangle)

Предел по множеству.

Предел (displaystylelim_f(x)) был определен ранее для функции, заданной в (dot(x^0)). Расширим определение предела, введя понятие предела по множеству.

Пусть (M) есть подмножество области определения функции (f(x)), (x^0) — предельная точка множества (M). Будем говорить, что число (A) есть предел функции (f(x)) по множеству (M) при (x
ightarrow x^0), если (forallvarepsilon > 0 exists delta > 0) такое, что (forall xin<dot S>_delta(x^0)cap M) выполнено неравенство (|f(x)-A| Пример 5.

Показать, что предел функции (f(x,y)=displaystyle frac<2xy>) в точке ((0,0)) по любому направлению (l=(cosalpha, sinalpha)) существует и равен (sin 2alpha).

( riangle) Так как при (t > 0) выполнено равенство
$$
f(tcosalpha, tsinalpha)=2sinalphacosalpha=sin 2alpha,
onumber
$$
то
$$
lim_f(tcosalpha, tsinalpha)=sin 2alpha.quadlacktriangle
onumber
$$

Показать, что предел функции (f(x,y)=displaystyle frac<2x^2y>) в точке ((0,0)) по любому направлению (l=(cosalpha, sinalpha)) существует и равен нулю.

Если (sinalpha=0), то (f(tcosalpha, tsinalpha)=0) и, следовательно,
$$
lim_f(tcosalpha, tsinalpha)=0.
onumber
$$

Если (sinalpha
eq 0), то
$$
lim_f(tcosalpha, tsinalpha)=0.quadlacktriangle
onumber
$$

Ясно, что из существования (displaystylelim_f(x)) следует существование (displaystylelim_f(x)) для любого подмножества (M’subset M), для которого (x’) есть предельная точка. В частности, из существования двойного предела функции (f(x,y)) при ((x,y)
ightarrow (x_0,y_0)) следует существование предела функции (f(x,y)) в точке ((x_0,y_0)) по любому направлению и равенство этих пределов двойному пределу функции (f(x,y)) при ((x,y)
ightarrow (x_0,y_0)).

Из результатов примеров 4 и 6 следует, что из существования и равенства пределов по любому направлению в точке ((x_0,y_0)) не вытекает существование в этой точке предела функции.

Предел функции (f(x)) в точке (x^0in R^n) по направлению (l=(l_1,ldots,l_n)), где (l_1^2+ldots+l_n^2=1), определяется по аналогии со случаем функции двух переменных.

Повторные пределы. Бесконечные пределы.

Пусть функция двух переменных (f(x,y)) определена на множестве
$$
Pi= <(x,y):quad 0 0) число (delta >0), что для всех (x) из проколотой окрестности (dot(x^0)) точки (x^0) выполнено неравенство (f(x) > C).

Очередь просмотра

Очередь

• Удалить все
• Отключить

Хотите сохраните это видео?

• Пожаловаться

Пожаловаться на видео?

Выполните вход, чтобы сообщить о неприемлемом контенте.

Понравилось?

Не понравилось?

Текст видео

Занятия и репетиторство по Skype. Facebook: http://facebook.com/matan.channel , ВКонтакте: http://vk.com/matan.channel , Viber: +7 (927) 74-69-502, WhatsApp: +7 (927) 74-69-502.

Что такое предел функции двух переменных, и почему при вычислении пределов функций двух переменных следует учитывать траекторию, по которой переменная точка приближается к своему предельному значению.

Когда мы вычисляем пределы в обычном понимании, то есть, пределы функций одной переменной, мы говорим, что переменная приближается (или стремится) к своему предельному значению, при этом функция ведет себя так-то (стремится к конечному значению, бесконечно растет и так далее).

То же самое происходит и в случае предела функции двух переменных, только в этом случае переменная точка может приближаться к предельному положению разными способами.

Действительно, у переменного числа есть только два направления: слева направо (в сторону убывания) и справа налево (в сторону возрастания). А у переменной точки таких направлений бесконечно много: слева направо, справа налево, по диагонали, по криволинейной траектории — как угодно.

Так вот, предел функции двух переменных существует, если предельное значение функции двух переменных не зависит от траектории, по которой переменная точка приближается к своему предельному значению.

В остальном вычисление пределов функций двух переменных мало отличается от вычисления пределов функций одной переменной: точно так же нужно раскрывать неопределенности, использовать эквивалентность бесконечно малых и так далее.

Просмотрите видео по теме «Предел функции двух переменных», затем перейдите к вопросам по теме «Предел функции двух переменных» и попробуйте самостоятельно вычислит предложенные вам пределы функций двух переменных, и, наконец, проверьте себя, просмотрев ответы на вопросы по теме «Предел функции двух переменных».

Тема «Предел функции двух переменных»: https://youtu.be/m3JkKP6KRNA
Вопросы по теме «Предел функции двух переменных»: https://youtu.be/ZC-BjM5SlA0
Ответы на вопросы по теме «Предел функции двух переменных»: https://youtu.be/_cl2cMNjo4M

Чтобы подробнее ознакомиться с темой «Предел функции двух переменных», перейдите на сайт проекта «Матан».