Предел функции синус х

Первый замечательный предел часто применяется для вычисления пределов содержащих синус, арксинус, тангенс, арктангенс и получающихся при них неопределенностей ноль делить на ноль.

Формула

Формула первого замечательного предела имеет вид: $$ lim_ <alpha o 0>frac<sinalpha> <alpha>= 1 $$

Замечаем, что при $ alpha o 0 $ получается $ sinalpha o 0 $, тем самым в числетеле и в знаменателе имеем нули. Таким образом формула первого замечательного предела нужна для раскрытия неопределенностей $ frac<0> <0>$.

Для применения формулы необходимо, чтобы были соблюдены два условия:

1. Выражения, содержащиеся в синусе и знаменателе дроби совпадают
2. Выражения, стоящие в синусе и знаменателе дроби стремятся к нулю

Внимание! $ lim_ frac<sin(2x^2+1)> <2x^2+1>
eq 1 $ Хотя выражения под синусом и в знаменателе одинаковые, однако $ 2x^2+1 = 1 $, при $ x o 0 $. Не выполнено второе условие, поэтому применять формулу НЕЛЬЗЯ!

Следствия

Достаточно редко в задания можно увидеть чистый первый замечательный предел, в котором можно сразу было бы записать ответ. На практике всё немного сложнее выглядит, но для таких случаев будет полезно знать следствия первого замечательного предела. Благодаря им можно быстро вычислить нужные пределы.

Примеры решений

Рассмотрим первый замечательный предел, примеры решения которого на вычисление пределов содержащих тригонометрические функции и неопределенность $ igg[frac<0><0>igg] $

Пример 1

Вычислить $ lim_ frac<sin2x> <4x>$

Решение

Рассмотрим предел и заметим, что в нём присутствует синус. Далее подставим $ x = 0 $ в числитель и знаменатель и получим неопределенность нуль делить на нуль: $$ lim_ frac<sin2x> <4x>= frac<0> <0>$$ Уже два признака того, что нужно применять замечательный предел, но есть небольшой нюанс: сразу применить формулу мы не сможем, так как выражение под знаком синуса отличается от выражения стоящего в знаменателе. А нам нужно, чтобы они были равны. Поэтому с помощью элементарных преобразований числителя мы превратим его в $ 2x $. Для этого мы вынесем двойку из знаменателя дроби отдельным множителем. Выглядит это так: $$ lim_ frac<sin2x> <4x>= lim_ frac<sin2x> <2cdot 2x>= $$ $$ = frac<1> <2>lim_ frac<sin2x> <2x>= frac<1><2>cdot 1 = frac<1> <2>$$ Обратите внимание, что в конце $ lim_ frac<sin2x> <2x>= 1 $ получилось по формуле.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ lim_ frac<sin2x> <4x>=frac<1> <2>$$

Как всегда сначала нужно узнать тип неопределенности. Если она нуль делить на нуль, то обращаем внимание на наличие синуса: $$ lim_ frac<sin(x^3+2x)> <2x-x^4>= frac<0> <0>= $$ Данная неопределенность позволяет воспользоваться формулой первого замечательного предела, но выражение из знаменателя не равно аргументу синуса? Поэтом "в лоб" применить формулу нельзя. Необходимо умножить и разделить дробь на аргумент синуса: $$ = lim_ frac<(x^3+2x)sin(x^3+2x)> <(2x-x^4)(x^3+2x)>= $$ Теперь по свойствам пределов расписываем: $$ = lim_ frac<(x^3+2x)><2x-x^4>cdot lim_ frac<sin(x^3+2x)> <(x^3+2x)>= $$ Второй предел как раз подходит под формулу и равен единице: $$ = lim_ frac<2x-x^4>cdot 1 = lim_ frac <2x-x^4>= $$ Снова подставляем $ x = 0 $ в дробь и получаем неопределенность $ frac<0> <0>$. Для её устранения достоточно вынести за скобки $ x $ и сократить на него: $$ = lim_ frac = lim_ frac <2-x^3>= $$ $$ = frac<0^2 + 2> <2 — 0^3>= frac<2> <2>= 1 $$

Пример 2

Найти $ lim_ frac<sin(x^3+2x)> <2x-x^4>$

Решение

Ответ

$$ lim_ frac<sin(x^3+2x)> <2x-x^4>= 1 $$

Подставляя $ x = 3 $ в аргумент синуса обращаем внимание на то, что сам аргумент стремится к нулю, как и синус: $$ igg(fracigg) o 0, ext < при >x o 3 $$

Выполняем решение, используя первый замечательный предел: $$ lim_ frac<frac<sin(x^2-9)>><frac> = 1$$

Пример 3

Определить $ lim_ frac<frac<sin(x^2-9)>><frac> $

Решение

Ответ

$$ lim_ frac<frac<sin(x^2-9)>><frac> = 1$$

Вычисление начнём с подстановки $ x=0 $. В результате получаем неопределенность $ frac<0> <0>$. Предел содержит синус и тангенс, что намекает на возможное развитие ситуации с использованием формулы первого замечательного предела. Преобразуем числитель и знаменатель дроби под формулу и следствие:

Теперь видим в числителе и знаменателе появились выражения подходящие под формулу и следствия. Аргумент синуса и аргумент тангенса совпадают для соответствующих знаменателей

Пример 4

Вычислить $ lim_ frac<sin2x> $

Решение

Ответ

$$ lim_ frac<sin2x> = frac<2> <3>$$

В статье: "Первый замечательный предел, примеры решения" было рассказано о случаях, в которых целесообразно использовать данную формулу и её следствия.

Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:

Так как при $alpha o<0>$ имеем $sinalpha o<0>$, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида $frac<0><0>$. Вообще говоря, в формуле (1) вместо переменной $alpha$ под знаком синуса и в знаменателе может быть расположено любое выражение, – лишь бы выполнялись два условия:

1. Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида $frac<0><0>$.
2. Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.

Часто используются также следствия из первого замечательного предела:

На данной странице решены одиннадцать примеров. Пример №1 посвящен доказательству формул (2)-(4). Примеры №2, №3, №4 и №5 содержат решения с подробными комментариями. Примеры №6-10 содержат решения практически без комментариев, ибо подробные пояснения были даны в предыдущих примерах. При решении используются некоторые тригонометрические формулы, которые можно найти тут.

Замечу, что наличие тригонометрических функций вкупе с неопределённостью $frac <0><0>$ ещё не означает обязательное применение первого замечательного предела. Иногда бывает достаточно простых тригонометрических преобразований, – например, см. пример №11.

Формула доказана. Более строгое доказательство (с обоснованием равенства $lim_<alpha o<0>>cosalpha=1$) можно посмотреть в решебнике Демидовича (№474.1).

б) Сделаем замену $alpha=sin$. Поскольку $sin<0>=0$, то из условия $alpha o<0>$ имеем $y o<0>$. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $arcsinalpha=arcsin(sin)=y$, поэтому:

в) Сделаем замену $alpha= g$. Поскольку $ g<0>=0$, то условия $alpha o<0>$ и $y o<0>$ эквивалентны. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $arctgalpha=arctg g)=y$, поэтому, опираясь на результаты пункта а), будем иметь:

Равенства а), б), в) часто используются наряду с первым замечательным пределом.

Так как $lim_<2>>frac=frac<2^2-4><2+7>=0$ и $lim_<2>>sinleft(frac
ight)=sin<0>=0$, т.е. и числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$, т.е. первое условие выполнено. Кроме того, видно, что выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают (т.е. выполнено и второе условие):

Итак, оба условия, перечисленные в начале страницы, выполнены. Из этого следует, что применима формула (1), т.е. $lim_<2>> frac<sinleft(frac
ight)><frac>=1$.

Так как $lim_<0>>sin<9x>=0$ и $lim_<0>>x=0$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$, т.е. первое условие выполнено. Однако выражения под знаком синуса и в знаменателе не совпадают. Здесь требуется подогнать выражение в знаменателе под нужную форму. Нам необходимо, чтобы в знаменателе расположилось выражение $9x$, – тогда второе условие станет истинным. По сути, нам не хватает множителя $9$ в знаменателе, который не так уж сложно ввести, – просто домножить выражение в знаменателе на $9$. Естественно, что для компенсации домножения на $9$ придётся тут же на $9$ и разделить:

Теперь выражения в знаменателе и под знаком синуса совпали. Оба условия для предела $lim_<0>>frac<sin<9x>><9x>$ выполнены. Следовательно, $lim_<0>>frac<sin<9x>><9x>=1$. А это значит, что:

Так как $lim_<0>>sin<5x>=0$ и $lim_<0>> g<8x>=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$. Однако форма первого замечательного предела нарушена. Числитель, содержащий $sin<5x>$, требует наличия в знаменателе $5x$. В этой ситуации проще всего разделить числитель на $5x$, – и тут же на $5x$ домножить. Кроме того, проделаем аналогичную операцию и со знаменателем, домножив и разделив $ g<8x>$ на $8x$:

Сокращая на $x$ и вынося константу $frac<5><8>$ за знак предела, получим:

Обратите внимание, что $lim_<0>>frac<sin<5x>><5x>$ полностью удовлетворяет требованиям для первого замечательного предела. Для отыскания $lim_<0>>frac< g<8x>><8x>$ применима формула (2):

Так как $lim_<0>>(cos<5x>-cos^3<5x>)=1-1=0$ (напомню, что $cos<0>=1$) и $lim_<0>>x^2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам (дабы потом применить формулу (1)) или тангенсам (чтобы потом применить формулу (2)). Сделать это можно таким преобразованием:

Вернемся к пределу:

Дробь $frac<sin^2<5x>>$ уже близка к той форме, что требуется для первого замечательного предела. Немного поработаем с дробью $frac<sin^2<5x>>$, подгоняя её под первый замечательный предел (учтите, что выражения в числителе и под синусом должны совпасть):

Вернемся к рассматриваемому пределу:

Так как $lim_<0>>(1-cos<6x>)=0$ и $lim_<0>>(1-cos<2x>)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $frac<0><0>$. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела. Для этого перейдем от косинусов к синусам. Так как $1-cos<2alpha>=2sin^2<alpha>$, то:

Переходя в заданном пределе к синусам, будем иметь:

Вычислить предел $lim_<0>>frac<cos(alpha)-cos(eta)>$ при условии $alpha
eqeta$.

Подробные пояснения были даны ранее, здесь же просто отметим, что вновь наличествует неопределенность $frac<0><0>$. Перейдем от косинусов к синусам, используя формулу

Используя указанную формулу, получим:

Так как $lim_<0>>( g-sin)=0$ (напомню, что $sin<0>= g<0>=0$) и $lim_<0>>x^3=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$. Раскроем её следующим образом:

Аналогичную задачу можно посмотреть в решебнике Демидовича (№475)

Так как $lim_<3>>(1-cos(x-3))=0$ и $lim_<3>>(x-3) gfrac<2>=0$, то наличествует неопределенность вида $frac<0><0>$. Перед тем, как переходить к её раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах (1)-(4) переменная $alpha o 0$). Проще всего ввести переменную $t=x-3$. Однако ради удобства дальнейших преобразований (эту выгоду можно заметить по ходу приведённого ниже решения) стоит сделать такую замену: $t=frac<2>$. Отмечу, что обе замены применимы в данном случае, просто вторая замена позволит поменьше работать с дробями. Так как $x o<3>$, то $t o<0>$.

Вновь мы имеем дело с неопределенностью $frac<0><0>$. Перед тем, как переходить к ее раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах (1)-(4) переменная $alpha o<0>$). Проще всего ввести переменную $t=frac<pi><2>-x$. Так как $x ofrac<pi><2>$, то $t o<0>$:

В данном случае нам не придётся использовать первый замечательный предел. Обратите внимание: как в первом, так и во втором пределах присутствуют только тригонометрические функции и числа. Зачастую в примерах такого рода удаётся упростить выражение, расположенное под знаком предела. При этом после упомянутого упрощения и сокращения некоторых сомножителей неопределённость исчезает. Я привёл данный пример лишь с одной целью: показать, что наличие тригонометрических функций под знаком предела вовсе не обязательно означает применение первого замечательного предела.

Так как $lim_<2>>(1-sin)=0$ (напомню, что $sinfrac<pi><2>=1$) и $lim_<2>>cos^2x=0$ (напомню, что $cosfrac<pi><2>=0$), то мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$. Однако это вовсе не означает, что нам потребуется использовать первый замечательный предел. Для раскрытия неопределенности достаточно учесть, что $cos^2x=1-sin^2x$:

Аналогичный способ решения есть и в решебнике Демидовича (№475). Что же касается второго предела, то как и в предыдущих примерах этого раздела, мы имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Отчего она возникает? Она возникает потому, что $ gfrac<2pi><3>=-sqrt<3>$ и $2cosfrac<2pi><3>=-1$. Используем эти значения с целью преобразования выражений в числителе и в знаменателе. Цель наших действий: записать сумму в числителе и знаменателе в виде произведения. Кстати сказать, зачастую в пределах аналогичного вида удобна замена переменной, сделанная с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (см., например, примеры №9 или №10 на этой странице). Однако в данном примере в замене смысла нет, хотя при желании замену переменной $t=x-frac<2pi><3>$ несложно осуществить.

Как видите, нам не пришлось применять первый замечательный предел. Конечно, при желании это можно сделать (см. примечание ниже), но необходимости в этом нет.

Каким будет решение с использованием первого замечательного предела? показатьскрыть

При использовании первого замечательного предела получим:

Первый замечательный предел выглядит следующим образом: lim x → 0 sin x x = 1 .

В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: lim x → 0 sin k · x k · x = 1 , где k – некоторый коэффициент.

Поясним: lim x → 0 sin ( k · x ) k · x = п у с т ь t = k · x и з x → 0 с л е д у е т t → 0 = lim t → 0 sin ( t ) t = 1 .

Следствия первого замечательного предела:

1. lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1

1. lim x → 0 k · x sin k · x = lim x → 0 1 sin ( k · x ) k · x = 1 1 = 1

Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.

Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: lim x → 0 sin ( 3 x ) 2 x .

Решение

lim x → 0 sin ( 3 x ) 2 x = " open=" 0 0

Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на 3 x и получим:

lim x → 0 sin ( 3 x ) 2 x = " open=" 0 0 = lim x → 0 3 x · sin ( 3 x ) 3 x · ( 2 x ) = lim x → 0 sin ( 3 x ) 3 x · 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 · sin ( 3 x ) 3 x

Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: lim x → 0 sin ( 3 x ) 3 x = 1 .

Тогда приходим к результату:

lim x → 0 3 2 · sin ( 3 x ) 3 x = 3 2 · 1 = 3 2

Ответ: lim x → 0 sin ( 3 x ) 3 x = 3 2 .

Необходимо найти предел lim x → 0 1 — cos ( 2 x ) 3 x 2 .

Решение

Подставим значения и получим:

lim x → 0 1 — cos ( 2 x ) 3 x 2 = 1 — cos ( 2 · 0 ) 3 · 0 2 = 1 — 1 0 = " open=" 0 0

Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:

lim x → 0 1 — cos ( 2 x ) 3 x 2 = " open=" 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 ( x ) 3 x 2

Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:

lim x → 0 2 sin 2 ( x ) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 · sin x x · sin x x = 2 3 · 1 · 1 = 2 3

Ответ: lim x → 0 1 — cos ( 2 x ) 3 x 2 = 2 3 .

Необходимо произвести вычисление предела lim x → 0 a r c sin ( 4 x ) 3 x .

Решение

lim x → 0 a r c sin ( 4 x ) 3 x = a r c sin ( 4 · 0 ) 3 · 0 = " open=" 0 0

Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:

a r c sin ( 4 x ) = t ⇒ sin ( a r c sin ( 4 x ) ) = sin ( t ) 4 x = sin ( t ) ⇒ x = 1 4 sin ( t ) lim x → 0 ( a r c sin ( 4 x ) ) = a r c sin ( 4 · 0 ) = 0 , значит t → 0 при x → 0 .

В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:

lim x → 0 a r c sin ( 4 x ) 3 x = " open=" 0 0 = lim t → 0 t 3 · 1 4 sin ( t ) = = lim t → 0 4 3 · t sin t = 4 3 · 1 = 4 3

Ответ: lim x → 0 a r c sin ( 4 x ) 3 x = 4 3 .

Для более полного понимания материала статьи следует повторить материал темы «Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и решения».