Предел синуса при х стремящемся к бесконечности

Содержание

1 Формула
2 Следствия
3 Примеры решений

Первый замечательный предел часто применяется для вычисления пределов содержащих синус, арксинус, тангенс, арктангенс и получающихся при них неопределенностей ноль делить на ноль.

Формула

Формула первого замечательного предела имеет вид: $$ lim_ <alpha o 0>frac<sinalpha> <alpha>= 1 $$

Замечаем, что при $ alpha o 0 $ получается $ sinalpha o 0 $, тем самым в числетеле и в знаменателе имеем нули. Таким образом формула первого замечательного предела нужна для раскрытия неопределенностей $ frac<0> <0>$.

Для применения формулы необходимо, чтобы были соблюдены два условия:

Выражения, содержащиеся в синусе и знаменателе дроби совпадают
Выражения, стоящие в синусе и знаменателе дроби стремятся к нулю

Внимание! $ lim_ frac<sin(2x^2+1)> <2x^2+1>
eq 1 $ Хотя выражения под синусом и в знаменателе одинаковые, однако $ 2x^2+1 = 1 $, при $ x o 0 $. Не выполнено второе условие, поэтому применять формулу НЕЛЬЗЯ!

Следствия

Достаточно редко в задания можно увидеть чистый первый замечательный предел, в котором можно сразу было бы записать ответ. На практике всё немного сложнее выглядит, но для таких случаев будет полезно знать следствия первого замечательного предела. Благодаря им можно быстро вычислить нужные пределы.

Примеры решений

Рассмотрим первый замечательный предел, примеры решения которого на вычисление пределов содержащих тригонометрические функции и неопределенность $ igg[frac<0><0>igg] $

Пример 1

Вычислить $ lim_ frac<sin2x> <4x>$

Решение

Рассмотрим предел и заметим, что в нём присутствует синус. Далее подставим $ x = 0 $ в числитель и знаменатель и получим неопределенность нуль делить на нуль: $$ lim_ frac<sin2x> <4x>= frac<0> <0>$$ Уже два признака того, что нужно применять замечательный предел, но есть небольшой нюанс: сразу применить формулу мы не сможем, так как выражение под знаком синуса отличается от выражения стоящего в знаменателе. А нам нужно, чтобы они были равны. Поэтому с помощью элементарных преобразований числителя мы превратим его в $ 2x $. Для этого мы вынесем двойку из знаменателя дроби отдельным множителем. Выглядит это так: $$ lim_ frac<sin2x> <4x>= lim_ frac<sin2x> <2cdot 2x>= $$ $$ = frac<1> <2>lim_ frac<sin2x> <2x>= frac<1><2>cdot 1 = frac<1> <2>$$ Обратите внимание, что в конце $ lim_ frac<sin2x> <2x>= 1 $ получилось по формуле.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ lim_ frac<sin2x> <4x>=frac<1> <2>$$

Как всегда сначала нужно узнать тип неопределенности. Если она нуль делить на нуль, то обращаем внимание на наличие синуса: $$ lim_ frac<sin(x^3+2x)> <2x-x^4>= frac<0> <0>= $$ Данная неопределенность позволяет воспользоваться формулой первого замечательного предела, но выражение из знаменателя не равно аргументу синуса? Поэтом "в лоб" применить формулу нельзя. Необходимо умножить и разделить дробь на аргумент синуса: $$ = lim_ frac<(x^3+2x)sin(x^3+2x)> <(2x-x^4)(x^3+2x)>= $$ Теперь по свойствам пределов расписываем: $$ = lim_ frac<(x^3+2x)><2x-x^4>cdot lim_ frac<sin(x^3+2x)> <(x^3+2x)>= $$ Второй предел как раз подходит под формулу и равен единице: $$ = lim_ frac<2x-x^4>cdot 1 = lim_ frac <2x-x^4>= $$ Снова подставляем $ x = 0 $ в дробь и получаем неопределенность $ frac<0> <0>$. Для её устранения достоточно вынести за скобки $ x $ и сократить на него: $$ = lim_ frac = lim_ frac <2-x^3>= $$ $$ = frac<0^2 + 2> <2 — 0^3>= frac<2> <2>= 1 $$

Пример 2

Найти $ lim_ frac<sin(x^3+2x)> <2x-x^4>$

Решение

Ответ

$$ lim_ frac<sin(x^3+2x)> <2x-x^4>= 1 $$

Подставляя $ x = 3 $ в аргумент синуса обращаем внимание на то, что сам аргумент стремится к нулю, как и синус: $$ igg(fracigg) o 0, ext < при >x o 3 $$

Выполняем решение, используя первый замечательный предел: $$ lim_ frac<frac<sin(x^2-9)>><frac> = 1$$

Пример 3

Определить $ lim_ frac<frac<sin(x^2-9)>><frac> $

Решение

Ответ

$$ lim_ frac<frac<sin(x^2-9)>><frac> = 1$$

Вычисление начнём с подстановки $ x=0 $. В результате получаем неопределенность $ frac<0> <0>$. Предел содержит синус и тангенс, что намекает на возможное развитие ситуации с использованием формулы первого замечательного предела. Преобразуем числитель и знаменатель дроби под формулу и следствие:

Теперь видим в числителе и знаменателе появились выражения подходящие под формулу и следствия. Аргумент синуса и аргумент тангенса совпадают для соответствующих знаменателей

Пример 4

Вычислить $ lim_ frac<sin2x> $

Решение

Ответ

$$ lim_ frac<sin2x> = frac<2> <3>$$

В статье: "Первый замечательный предел, примеры решения" было рассказано о случаях, в которых целесообразно использовать данную формулу и её следствия.

Предел синуса на бесконечности является неопределённым.

Чтобы доказать это, рассмотрим предел этой тригонометрической функции.

Допустим существование некоторого предела выражения $lim_ sin(n)$, то есть, что оно стремится к некоторой конечной величине на бесконечности.

Тогда будет соблюдаться условие $lim _ (sin(n+1) — sin(n-1)) = 0$.

По правилу разложения разности синусов $sin α — sin β = 2 cos frac<α + β> <2>cdot sin frac< α – β><2>$.

Из этого выходит, что $lim_ 2 cos(n) sin (1) = 0$, а это значит, что $lim_cos n = 0$.

Следовательно, предел синуса от $2n$ при $n o infty$ также равен нулю:

$lim_ sin 2n= 2 sin(n) cos (n) = 0$, но тогда если $lim_ sin(n))$ существует, будет выполняться условие $lim sin(n) = 0$.

Но при этом должно выполняться основное тригонометрическое тождество $sin^2 n + cos^2 n = 1$, это значит, что косинус $n$ должен стремиться к нулю, а синус в этом случае стремится к единице.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Но данное утверждение противоречит здравому смыслу, а значит, предел на бесконечности для синуса не определён.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

January 24th, 2010

tiabaldu

06:35 pm — Предел синуса на бесконечности

Напомним, что последовательность <x_n> называется расходящейся, если никакое число не является пределом этой последовательности (Кудрявцев, МФТИ, том первый).

Докажем от противного, что последовательность sin(n) является расходящейся.