Пределы с тригонометрией примеры решения

Термин "замечательный предел" широко используется в учебниках и методических пособиях для обозначения важных тождеств, которые помогают существенно упростить работу по нахождению пределов.

Но чтобы суметь привести свой предел к замечательному, нужно к нему хорошенько приглядеться, ведь они встречаются не в прямом виде, а часто в виде следствий, снабженные дополнительными слагаемыми и множителями. Впрочем, сначала теория, потом примеры, и все у вас получится!

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел записывается так (неопределенность вида $0/0$):

Следствия из первого замечательного предела

Примеры решений: 1 замечательный предел

Решение. Первый шаг всегда одинаковый — подставляем предельное значение $x=0$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $left[frac<0><0>
ight]$, которую следует раскрыть. Если посмотреть внимательно, исходный предел очень похож на первый замечательный, но не совпадает с ним. Наша задача — довести до похожести. Преобразуем так — смотрим на выражение под синусом, делаем такое же в знаменателе (условно говоря, умножили и поделили на $3x$), дальше сокращаем и упрощаем:

Выше как раз и получился первый замечательный предел: $$ limlimits_frac<sin (3x)> <3x>= limlimits_frac<sin (y)>=1, ext < сделали условную замену >y=3x. $$ Ответ: $3/8$.

Решение. Подставляем предельное значение $x=0$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $left[frac<0><0>
ight]$. Преобразуем предел, используя в упрощении первый замечательный предел (три раза!):

Решение. А что если под тригонометрической функцией сложное выражение? Не беда, и тут действуем аналогично. Сначала проверим тип неопределенности, подставляем $x=0$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $left[frac<0><0>
ight]$. Умножим и поделим на $2x^3+3x$:

Снова получили неопределенность, но в этом случае это просто дробь. Сократим на $x$ числитель и знаменатель:

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел записывается так (неопределенность вида $1^infty$):

$$ limlimits_ left( 1+frac<1>
ight)^=e, quad ext <или>quad limlimits_ left( 1+x
ight)^<1/x>=e. $$

Следствия второго замечательного предела

Примеры решений: 2 замечательный предел

Решение. Проверим тип неопределенности, подставляем $x=infty$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $left[1^<infty>
ight]$. Предел можно свести к второму замечательному. Преобразуем:

Выражение в скобках фактически и есть второй замечательный предел $limlimits_ left( 1+frac<1>
ight)^=e$, только $t=-3x/2$, поэтому

Решение. Подставляем $x=infty$ в функцию и получаем неопределенность вида $left[ frac<infty><infty>
ight]$. А нам нужно $left[1^<infty>
ight]$. Поэтому начнем с преобразования выражения в скобках:

Выражение в скобках фактически и есть второй замечательный предел $limlimits_ left( 1+frac<1>
ight)^=e$, только $t=frac <2x^2-x+8> o infty$, поэтому

Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:

Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.

Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(frac<0><0>)$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.

$$ tg 2x = frac <2x>cdot 2x $$ $$ sin 3x = frac<sin 3x> <3x>cdot 3x $$

Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.

Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).

Теперь с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2 — b^2$ упростим числитель.

В этой задаче не обойтись без тригонометрической формулы $1-cos x = 2sin^2 frac<2>$. Выполним по ней преобразование выражение в знаменателе.

Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.

Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.

Выносим константу перед пределом и сокращаем $x$ в числителе и знаменателе.

Подставляя $x=0$ получаем неопределенность (0^0). Под пределом показательно-степенная функция, поэтому нужно воспользоваться логарифмированием и свести к неопределенности $(frac<infty><infty>)$, чтобы затем воспользоваться правилом Лопиталя.

Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.

Подставляем полученное выражение под знак предела и пременяем свойство предела для показательной функции.

Теперь, подставляя $x=0$ в предел, вычисляем окончательный ответ.

Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.

$$ arcsin 3x sim 3x $$ $$1-cos 2x sim 2x^2 $$

Подставляем в предел и получаем готовый ответ.

Основной тригонометрический предел (первый замечательный предел) имеет вид [limlimits_ frac<<sin x>> = 1.] Используя данный предел, можно получить ряд других тригонометрических пределов: [ <limlimits_frac<< an x>> = 1,;;;> <limlimits_frac<<arcsin x>> = 1,;;;> <limlimits_frac<<arctan x>> = 1.>] Здесь и далее предполагается, что углы измеряются в радианах.