Преобразование координат из одной системы в другую

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном n <displaystyle n> -мерном многообразии.

Пример перехода от полярных координат < r , φ ><displaystyle > к декартовым < x , y ><displaystyle > на евклидовой плоскости:

< x = r cos ⁡ φ y = r sin ⁡ φ <displaystyle <eginx=rcos varphi \y=rsin varphi end>>

Чаще всего преобразование координат производится для перехода к более простой или более удобной для анализа математической модели. Например, уравнения некоторых плоских кривых в полярных координатах существенно проще, чем в декартовых, а для исследования осесимметричных тел удобно направить одну из осей координат вдоль оси симметрии.

Содержание

Определение [ править | править код ]

Преобразование координат — совокупность правил [1] , ставящих в соответствие каждому набору координат < x 1 , x 2 … x n ><displaystyle <1>,x_<2>dots x_>> на некотором n <displaystyle n> -мерном многообразии другой набор координат < x 1 ′ , x 2 ′ … x n ′ ><displaystyle <1>‘,x_<2>’dots x_‘>> :

< x 1 ′ = x 1 ′ ( x 1 , x 2 , … x n ) x 2 ′ = x 2 ′ ( x 1 , x 2 , … x n ) … x n ′ = x n ′ ( x 1 , x 2 , … x n ) <displaystyle <eginx_<1>’=x_<1>'(x_<1>,x_<2>,dots x_)\x_<2>’=x_<2>'(x_<1>,x_<2>,dots x_)\dots \x_‘=x_‘(x_<1>,x_<2>,dots x_)end>>

При этом после преобразования должно сохраняться однозначное соответствие между точками многообразия и наборами координат (допускаются исключения для некоторых особых точек).

Это преобразование может трактоваться двояко [2] .

1. Пассивная точка зрения — происходит смена координат точек многообразия. Все точки при этом остаются на своих местах.
2. Активная точка зрения — преобразование ставит в соответствие каждой точке многообразия другую точку. Система координат при этом не меняется.

< x ′ = x + 1 y ′ = y <displaystyle <eginx’=x+1\y’=yend>>

Данное преобразование можно истолковать одним из двух способов.

1. Смена системы координат, которая увеличивает абсциссы всех точек на 1.
2. Перенос всех точек плоскости на 1 параллельно оси x . <displaystyle x.>

Сводку основных формул преобразования для практически важных координатных систем см. в статье Система координат.

Классификация [ править | править код ]

По типу формул все преобразования координат можно сгруппировать в разнообразные классы с общими типовыми свойствами. Далее перечислены некоторые практически особо важные классы преобразований, которые могут комбинироваться один с другим.

• Изометрия — преобразования, сохраняющие все длины. В том числе:

• Вращение вокруг точки или оси.
• Параллельный перенос.
• Отражение. Сочетание этих трёх типов называется движением.

Обычно выделенный класс является группой преобразований в смысле общей алгебры, то есть композиция двух преобразований относится к тому же классу и для каждого преобразования существует обратное. Исследование этой группы позволяет выделить симметрии и инварианты преобразований.

Инварианты [ править | править код ]

Инвариантом данного преобразования координат называется функция координат, значения которой после преобразования не меняются [3] . Например, вращения и переносы не меняют расстояния между точками евклидова пространства. Инварианты являются важной характеристикой группы преобразований.

Пересчет систем координат СК-42, СК-95, ПЗ-90, GPS (WGS-84), ПЗ-90.02, ПЗ-90.11, ГСК-2011, ITRF-2008

Навигация

Пересчитать координаты из систем CК-42, GPS (WGS-84), ПЗ-90, ПЗ-90.02, ПЗ-90.11, ГСК-2011, ITRF-2008, СК-95

Пересчет географических координат. Градусы -> градусы/минуты/секунды:

Хотите пересчитать координаты из одной системы координат в другую?

Здесь Вы сможете преобразовать координаты точек из используемых в России местных систем координат (СК) в мировые или наоборот, а также из одной местной СК в другую местную. Пересчитать за один раз можно как одну точку, так и целыми контурами.

Необходимость пересчета возникает, например, при определении положения точки на публичной кадастровой карте, которая работает в мировой системе координат WGS-84 (проекция Меркатора), другие картографические сервисы также используют WGS-84 (долготу и широту): Google.Maps, Яндекс.Карты, OpenStreet и др.

Инструкция:

Выберите из выпадающих список слева исходную систему координат, справа — целевую систему координат. Введите координаты в левое текстовое поле. Вводите в одной строке по одной точке (пункту), координаты отделяйте друг от друга в строке: Tab, точкой с запятой, пробелом, либо запятой. Целую часть от дробной — точкой, либо запятой (если она не использована в качестве разделителя). При вводе долготы и широты вводите значения в градусах и десятичных долях градусов, отделяя целую часть от дробной точкой. Нажмите на кнопку Конвертировать. Вы можете менять направление конвертации с помощью кнопки . Для очистки текстовых полей нажмите кнопку Очистить.

Совет: Вы можете открыть программу серии Полигон и выделить всю таблицу с координатами, нажать на кнопку Копировать в программе, а затем вставить эту информацию в левое поле конвертера, нажать кнопку Конвертировать.

Внимание: конвертер "внутри" работает в математической системе координат, поэтому если Вы конвертируете из геодезической системы координат (местные СК), то поставьте галочку X ↔ Y в левой части. Если Вы конвертируете из мировой СК, например, WGS 84, то такую галочку ставить не нужно, так как эта система математическая. Для получения на выходе координат в нужной последовательности, используйте галочку X ↔ Y в правой части. Вы можете округлить координаты до сотых: как до конвертации — левая галочка 0.00, так и после — правая галочка 0.00.

Внимание: при большом количестве точек пересчет может занять некоторое время. Если операция выполняется слишком длительно, то обновите страницу клавишей F5. Конвертируйте меньшее количество информации за один раз.

Сервис работает бесплатно. Количество конвертируемых точек не ограничено.

Сервис работает бесплатно, но Вы можете нас отблагодарить:

• Поделитесь ссылкой в социальных сетях
• Напишите на форумах об этом сервисе
• Расскажите коллегам о существовании этого сервиса
• Напишите отзыв на нашем сайте

Мы принимаем оплату
банковскими картами