В этом разделе познакомимся с умножением и узнаем, что сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением.
В математике существует знак для умножения — это точка посередине строки между числами, которые нужно перемножить.
Например, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 можно записать по-другому: 6 • 4 = 24
Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых.
Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз.
Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое.
Результат умножения показывает, какое число получается.
6 • 4 значит, что число 6 повторяют 4 раза: 6 + 6 + 6 + 6 = 24
6 — первый множитель
4 — второй множитель
24 — произведение
Числа при умножении
Результат умножения, или Произведение
Чтение числовых выражений
Этот пример можно прочитать по-разному.
- 6 умножить на 4 равняется 24.
- 6 увеличить в 4 раза – получится 24.
- Первый множитель – 6, второй множитель – 4, произведение – 24.
- Произведение 6 и 4 равно 24.
Свойство умножения
Значит, 3 • 4 = 4 • 3
От перестановки мест сомножителей произведение не изменится.
Умножение на 1
4 • 1 = 4, потому что это значит, что число 4 повторяют только 1 раз.
23 • 1 = 23, потому что это значит, что число 23 повторяют только 1 раз.
Умножение на 0
8 • 0 = 0, потому что это значит, что число 8 повторяют 0 раз.
26 • 0 = 0, потому что это значит, что число 26 повторяют 0 раз.
Умножение на 10
8 • 10 = 80, потому что число 8 повторяют 10 раз.
15 • 10 = 150, потому что число 15 повторяют 10 раз.
Связь деления и умножения
8 • 3 = 24, потому что 8 повторяют 3 раза.
24 : 3 = 8, потому что в 24 по 3 содержится 8 раз.
24 : 8 = 3, потому что в 24 по 8 содержится 3 раза.
В несколько раз больше
Решим задачу:
В магазине было 2 лисички, а котят в 4 раза больше. Сколько было котят?
Это значит, что котят было 4 раза по 2.
2 + 2 + 2 + 2 = 4 (к.)
Заменяем сложение умножением и получаем:
Вывод: Если в задаче есть слова «в . раз больше», то задача решается умножением.
Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?
Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?
Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?
Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Метод умножения столбиком, позволяет упростить умножения чисел. Умножение столбиком предполагает последовательное умножения первого числа, на все цифры второго числа последующего сложения полученных произведений с учетом отступа, зависящего от положения цифры второго числа.
Рассмотрим как нужно умножать столбиком на примере нахождения произведения двух чисел 625 × 25.
- 1 Запишем числа одно под другим и проведем черту
. - 2 Число 25, состоит из 2 цифр, 2 и 5, будем умножать первое число 625, на цифры второго числа в обратном порядке. Начнем вычисление с нахождения произведения 625 × 5, запишем результат ниже черты, начинаем запись с правой стороны, получим:
. - 3 Теперь умножаем 625 на 2, и запишем результат на следующей строке, сместив запись на одну клетку левее, предыдущего произведения, получим
.
При большем количестве цифр во втором числе, мы получим что наши произведения выстраиваются справа в виде "лесенки".
4 В результате умножения получаем 2 произведения, 3125 и 1250, будем последовательно справа на лево складывать их цифры между собой, в том порядке как они идут, и записывать результат их сложения ниже. Если сумма цифр при сложение превысит 9, то делим сумму на 10, остаток от деления записываем под текущими цифрами, а целую часть от деления перенесем влево.
В результате получаем 
.
Дэвид Харли, доцент из Университета Нового Южного Уэльса в Сиднее обратился к алгоритму Шёнхаге — Штрассена, разработанному двумя немецкими математиками. В период с 1971 года по 2007 это был самый быстрый способ умножения чисел, пока ему на смену не пришла альтернатива (справедливости ради стоит отметить, что используют ее крайне редко).
Шенхаге и Штрассен предсказали существование алгоритма умножения n-значных чисел с использованием базовых операций формата n * log (n). С тех пор прошло несколько десятилетий, но лишь теперь появилось первое доказательство этой гипотезы.
Так в чем же суть? Для примера Харви выбрал умножение чисел 314 и 159 — с подобными числами мы сталкиваемся каждый день. Обычно, чтобы решить подобное уравнение, большинство людей перемножает каждый отдельный номер, а затем складывают суммы. Так, 9 умножается на 4,1 и 3, затем 5 умножается на 4, 1 и 3, и так далее. В результате сложения всех результатов и получается искомое 9-значное число.
Этот метод называется n2, потому что число n умножается на n несколько раз. Получите ли вы правильный ответ? Безусловно. Однако еще в 1971 году немцы придумали, как ускорить процесс. Они записывали его как n * log (n). Напомним, что log — это сокращение от «логарифма», который помогает нам расшифровывать числа, возведенные в степень. Например, 2⁵ = 32, но если записать это уравнение логарифмически, то получится log₂ (32) = 5. Звучит просто, однако по‑настоящему логарифмы начинают упрощать процесс в работе с крупными числами.
Харви уверен, что метод Шёнхаге-Штрассена очень практичен. По его словам, если обычному компьютеру дать задачу перемножить между собой два числа с миллиардом знаков в каждом, используя «школьный» метод — это заняло бы месяцы. А если дать ему ту же задачу, но использовать при этом подход с логарифмами, то вся операция займет… от силы секунд 30.
Впрочем, и тут есть пределы. математик отмечает, что если число знаков будет составлять триллион и больше, то здесь пригодится алгоритм, разработанный Харви и его сотрудником Йорисом ван дер Хувеном в Политехнической школе во Франции в 2007 году. «С его помощью можно будет вычислить значение числа «пи» с еще большей точностью. Человечество 50 лет охотилось за таким удобным способом работы с огромными простыми числами — и теперь он наконец в нашем распоряжении», говорит сам Харви.
Загрузка...
