Содержание
Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок «Что такое функция в математике».
После того, как вы действительно поймете, что такое функция (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.
В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.
Как получить значение функции
Рассмотрим задание. Функция задана формулой « y = 2x − 1 »
- Вычислить « y » при « x = 15 »
- Найти значение « x », при котором значение « y » равно « −19 ».
Для того, чтобы вычислить « y » при « x = 15 » достаточно подставить в функцию вместо « x » необходимое числовое значение.
Запись решения выглядит следующим образом.
Для того, чтобы найти « x » по известному « y », необходимо подставить вместо « y » в формулу функции числовое значение.
То есть теперь наоборот, для поиска « x » мы подставляем в функцию « y = 2x − 1 » вместо « y » число « −19 » .
Мы получили линейное уравнение с неизвестным « x », которое решается по правилам решения линейных уравнений.
Не забывайте про правило переноса в уравнениях.
При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на противоположный .
Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас требуется умножить и левую, и правую часть на « −1 » для смены знака.
Теперь разделим и левую, и правую часть на « 2 », чтобы найти « x » .
Как проверить верно ли равенство для функции
Рассмотрим задание. Функция задана формулой « f(x) = 2 − 5x ».
Верно ли равенство « f(−2) = −18 »?
Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию « f(x) = 2 − 5x » числовое значение « x = −2 » и сопоставить с тем, что получится при расчетах.
Когда подставляете отрицательное число вместо « x », обязательно заключайте его в скобки.
Не забывайте использовать правило знаков.
Неправильно
Правильно
С помощью расчетов мы получили « f(−2) = 12 ».
Это означает, что « f(−2) = −18 » для функции « f(x) = 2 − 5x » не является верным равенством.
Как проверить, что точка принадлежит графику функции
Рассмотрим функцию « y = x 2 −5x + 6 »
Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами (1; 2) .
Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.
Чтобы определить, принадлежит ли точка функции, достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси « Ox » вместо « x » и координату по оси « Oy » вместо « y »).
Если получится верное равенство , значит, точка принадлежит функции.
Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию « y = x 2 − 5x + 6 » координаты точки (1; 2) .
Вместо « x » подставим « 1 ». Вместо « y » подставим « 2 ».
У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами (1; 2) принадлежит заданной функции.
Теперь проверим точку с координатами (0; 1) . Принадлежит ли она
функции « y = x 2 − 5x + 6 »?
Вместо « x » подставим « 0 ». Вместо « y » подставим « 1 ».
В этом случае мы не получили верное равенство. Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции « y = x 2 − 5x + 6 »
Как получить координаты точки функции
С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат в формулу функции получается верное равенство.
Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ». Её график мы уже строили в предыдущем уроке.
Найдем на графике функции « y(x) = −2x + 1 », чему равен « y » при x = 2 .
Для этого из значения « 2 » на оси « Ox » проведем перпендикуляр к графику функции. Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси « Oy ».
Полученное значение « −3 » на оси « Oy » и будет искомым значением « y ».
Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции « y(x) = −2x + 1 ».
Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции « y(x) = −2x + 1 ». Если мы правильно провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3 .
При расчетах мы также получили y = −3 .
Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.
Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте подстановкой значений « x » в функцию.
При подстановке числового значения « x » в функцию в результате должно получиться то же значение « y », которое вы получили на графике.
При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».
Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.
Ответ или решение 1
Точка будет принадлежать графику функции, если при подстановки вместо аргумента первую координату точки, мы получим вторую координату точки.
Пример, заданно уравнение окружности x^2 + y^2 = 1.
Проверить, принадлежит ли точка (0;1) графику:
Как определить, принадлежит ли графику функции точка? Это можно сделать, не выполняя построения графика.
График функции проходит через точку, если координаты этой точки обращают формулу функции в верное числовое равенство.
Таким образом, чтобы выяснить, принадлежит ли графику функции точка, надо подставить координаты точки в формулу функции. Если получится верное числовое равенство, точка лежит на графике.
1) Принадлежат ли графику функции y=10x-3 точки A(-2; 17) и B(1; 7)?
График функции проходит через точки A и B, если их координаты обращают формулу y=10x-3 в верное числовое равенство.
Подставляем в формулу функции вместо y ординату точки A (y=17), а вместо x — абсциссу (x=-2). Имеем:
Значит, точка A графику функции y=10x-3 не принадлежит.
Ординату 7 точки B подставляем в формулу функции y=10x-3 вместо y, абсциссу 1 — вместо x. Имеем:
Следовательно, точка B принадлежит графику функции y=10x-3.
Ответ: точка B принадлежит графику функции, точка A — не принадлежит.
2) Какие из точек A(2;15), B(-1;-15), C(-10; 243) принадлежат графику функции y=3x²+5x-7?
В формулу функции y=3x²+5x-7 вместо y подставляем ординату точки, вместо каждого x — абсциссу.
Верные равенства получили для точек A и C. Значит, эти точки принадлежат графику функции y=3x²+5x-7, а точка B — не принадлежит.
Ответ: точки A и C принадлежат графику функции.
Загрузка...
