Принимая вероятность рождения мальчика и девочки одинаковыми

Содержание

1 Видеоурок и шаблон Excel
2 Примеры решений задач о рождении мальчиков и девочек
3 Ответ или решение 1
- 3.1 Что ты хочешь узнать?
4 Ответ

Конечно, теория вероятности не может дать ответ на сакральный вопрос "Кто родится, мальчик или девочка?" (равно как и на не менее популярный вопрос "Как выиграть в лотерею?"), тут придется положиться на природу/случай. А мы рассмотрим простую учебную задачу:

Вероятность рождения мальчика примерно равна $p$. В семье $n$ детей. Найти вероятность того, что из них ровно $k$ мальчиков (соответственно, $n-k$ девочек).

Применяем формулу Бернулли и получаем:

$$ P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^ = C_n^k cdot p^k cdot q^. qquad (1) $$

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач о рождении детей в схеме Бернулли, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о рождении мальчиков и девочек

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди них три мальчика. Вероятность рождения мальчика равна 0,5.

Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (рождениях детей), всего родилось $n=5$ детей, вероятность того, что родился мальчик $p=0,5$, вероятность рождения девочки $q=1-p=1-0,5=0,5$. Нужно найти, что будет ровно $k=3$ мальчика. Подставляем все в формулу (1) и получаем: $$ P_5(3)=C_<5>^3 cdot 0,5^3 cdot 0,5^2 = 10cdot 0,5^5 = 0,313. $$

Пример 2. Вероятность того, что родившийся ребенок – мальчик, равна 0,51. Какова вероятность того, что в семье из шести детей: одна или две девочки.

Формализуем задачу, выписываем параметры: $n=6$ (детей), $p=0,51$ (вероятность рождения мальчика), $k =5$ или $k =4$ (будет 1 девочка и 5 мальчиков, или 2 девочки и 4 мальчика). Получаем:

Читайте также Сжатое сообщение 5 букв

$$ P=P_6(4)+P_6(5) =C_<6>^4 cdot 0,51^4 cdot 0,49^2+C_<6>^5 cdot 0,51^5 cdot 0,49^1=\ =15 cdot 0,51^4 cdot 0,49^2+6 cdot 0,51^5 cdot 0,49^1=0,345. $$

Пример 3. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье не более трех мальчиков.

В семье $n=10$ детей, вероятность рождения мальчика и девочки одинакова, то есть $p=q=0,5$. Найдем вероятность того, что в данной семье не более трех мальчиков, то есть 0, 1, 2 или 3 мальчика. Сначала найдем эти вероятности отдельно по формуле (1) каждую:

$$ P_<10>(0)=C_<10>^0 cdot 0,5^0cdot 0,5^ <10>= 0,001. $$ $$ P_<10>(1)=C_<10>^1 cdot 0,5^1cdot 0,5^ <9>= 0,01. $$ $$ P_<10>(2)=C_<10>^2 cdot 0,5^2cdot 0,5^ <8>= 0,044. $$ $$ P_<10>(3)=C_<10>^3 cdot 0,5^3cdot 0,5^ <7>= 0,117. $$

Так как события несовместные, нужная вероятность может быть найдена по формуле сложения вероятностей: $$ P_<10>(0 le k le 3 )=P_<10>(0)+P_<10>(1)+P_<10>(2)+P_<10>(3)=\ = 0,001+0,01+0,044+0,117=0,172.$$

Пример 4. Вероятность рождения мальчика и девочки одинаковы. Какова вероятность, что среди 6 наудачу отобранных новорожденных число мальчиков и девочек одинаково.

Выписываем из условия задачи значения переменных: $n=6$ (количество детей), $p=q=0,5$ (вероятность рождения мальчика и девочки одинаково), $k =n/2=3$ (родится 3 девочки и 3 мальчика, поровну). Получаем:

$$ P_6(3) =C_<6>^3 cdot 0,5^3 cdot 0,5^3= 20 cdot 0,5^6 =0,313. $$