Содержание
Существует и другие признаки делимости кроме перечисленных, но они на порядок сложнее. Для тех, кому интересно, приводим пример признака делимости на 11 .
Признак делимости на 11
Число делится на 11 , если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11 .
В самом деле признак делимости на 11 очень интересен, попробуем разобраться на примере:
- Проверим, делится ли 671 на 11 .
Итак, цифры которые стоят на нечетных местах — это 6 (стоит на первом месте) и 1 (стоит на третьем месте). Цифра, которая стоит на четном месте, это 7 (стоит на втором месте). 6 + 1 = 7 . Сумма цифр стоящих на нечетном месте равна сумме цифр на четном месте, значит 671 делится на 11 .
- Проверим делится ли 3905 на 11 .
Цифры которые стоят на нечетных местах — это 3 (стоит на первом месте) и 0 (стоит на третьем месте). Цифры, которые стоят на четном месте это 9 (стоит на втором месте) и 5 (стоит на четвертом месте).
Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, не равна сумме цифр на четном месте, но суммы цифр отличаются ровно на 11 , т.к. 14 − 3 = 11 . Значит 3905 делится на 11 .
Уточнение для признака делимости на 11
На самом деле, правило, описанное выше — это упрощенная версия полного признака делимости на 11 . В большинстве случаев при решении задач школьного курса математики его достаточно.
Но если быть точным, признак делимости звучит следующим образом.
Число делится на 11 , если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на число, которое делится на 11 .
Разберемся на примере.
- Проверим, делится ли число 90 904 на 11 без остатка.
- Вычислим сумму цифр на нечетных местах:
Делимость на 11
Алгебра весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот или иной делитель. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 общеизвестны. Выведем признак делимости на 11; он довольно прост и практичен.
Пусть многозначное число N имеет цифру единиц а, цифру десятков b, цифру сотен с, цифру тысяч d и т. д., т. е.
где многоточие означает сумму дальнейших разрядов. Вычтем из N число 11(b + 10с + 100d + . ), кратное одиннадцати. Тогда полученная разность, равная, как легко видеть,
будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Прибавив к этой разности число ll(c + 10d + . ), кратное одиннадцати, мы получим число
также имеющее тот же остаток от деления на 11, что и число N. Вычтем из него число 11(d + . ), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы получим число
имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число N.
Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.
Испытаем, например, число 87635064:
Значит, данное число делится на 11.
Существует и другой признак делимости на 11, удобный для не очень длинных чисел. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11, в противном случае — нет. Например, пусть требуется испытать число 528. Разбиваем число на грани (5/28) и складываем обе грани:
Так как 33 делится без остатка на 11, то и число 528 кратно 11:
Докажем этот признак делимости. Разобьем многозначное число N на грани. Тогда мы получим двузначные (или однозначные * ) числа, которые обозначим (справа налево) через а, b, с и т. д., так что число N можно будет записать в виде
* ( Если число N имело нечетное число цифр, то последняя (самая левая) грань будет однозначной. Кроме того, грань вида 03 также следует рассматривать как однозначное число 3.)
Вычтем из N число 99(b + 100с + . ), кратное одиннадцати. Полученное число
будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Из этого числа вычтем число 99(с + . ), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы найдем, что число N имеет тот же остаток от деления на 11, что и число
Изучаем математику вместе!
Всего существует три важных признака делимости на 11.
Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.
Этот признак является наиболее простым и удобным. К тому же его проще всего запомнить.
Решение: а) 1234321. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите — возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся на 11. Ответ: делится.
б) 10101. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3. Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не делится.
Для формулировки оставшихся двух признаков делимости на 11 введём такое определение:
Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.
Решение: а) применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа 1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001 делится на 11.
б) применим 3-й признак делимости на 11. Разбиваем число 1002001 на трёхзначные грани: 1|002|001. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11. Поэтому 1002001 делится на 11.
Доказательство этих признаков строится на представлении чисел в десятичной системе счисления. Подробное доказательство приведено в этой статье.
Загрузка...
