Прямая проходящая через точку пересечения диагоналей прямоугольника

Какова симметрия прямоугольника? Есть ли у прямоугольника ось симметрии и центр симметрии?

Прямоугольник имеет две оси симметрии.

Осями симметрии прямоугольника являются прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Пусть O — точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, K и F — точки пересечения прямой, проходящей через точку O параллельно стороне AB, со сторонами AD и BC. Тогда

Прямоугольные треугольники AOK и DOK равны по катету и гипотенузе (OK- общий катет, OA=OD по свойству диагоналей параллелограмма). Следовательно, AK=DK, то есть прямая FK проходит через середину стороны AD.

Отметим на стороне AB произвольную точку X. Проведём прямую через точку X прямую, перпендикулярную прямой FK. Точки пересечения этой прямой с прямыми FK и CD обозначим через P и X1.

Четырёхугольники AXPK и KPX1D — прямоугольники (так как у них все углы прямые). Следовательно, XP=AK, PX1=KD. А так как AK=DK, то и XP=PX1. Значит, X1 — точка, симметричная точке X относительно прямой FK.

Имеем: точка, симметричная относительно прямой FK произвольной точке прямоугольника, также принадлежит прямоугольнику.

Точки F и K симметричны сами себе относительно прямой FK.

Таким образом, FK — ось симметрии прямоугольника.

Аналогично доказывается, что прямая, проходящая через точку O параллельно AD является осью симметрии ABCD.

Что и требовалось доказать .

Прямоугольник — центрально симметричная фигура.

Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.

Так как параллелограмм — центрально-симметричная фигура с центром симметрии в точке пересечения диагоналей, то это верно и для частного случая параллелограмма — прямоугольника.

Ответ или решение 1

Для решения используем рисунок.

По условию задачи отрезок EF = 10 см, угол EFD = 60 0 , угол FOD = 90 0 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник FOD, у которого OF = (1 / 2) x EF = 5 см.

Катет OF этого треугольника лежит против угла 30 0 , тогда гипотенуза FD треугольника FOD равна двум катетам OF.

FD = 2 x 5 = 10 см.

Проведем через точку О перпендикуляр к стороне AD и обозначим точку пересечения К.

Рассмотрим прямоугольный треугольник FOК у которого гипотенуза FO = 5 см, а угол FOK = 30 0 . Тогда катет FK, расположенный против угла 30 0 , равен половине гипотенузы. FK = 5 / 2 = 2,5 см.

Тогда отрезок KD, который равен половине стороны AK, будет равен FD – FK = 10 – 2,5 = 7,5 см.

Тогда сторона AD = 7,5 х 2 = 15 см.

Ответ: Сторона AD прямоугольника равна 15 см.

Данное свойство следует из того, что прямоугольник – это частный случай параллелограмма, а параллелограмм является центрально симметричной фигурой.

Осями симметрии прямоугольника являются прямые, проходящие через точку пересечения его диагоналей параллельно сторонам.

m – ось симметрии прямоугольника
n – ось симметрии прямоугольника

Доказательство свойства осей симметрии прямоугольника

Шаг 1

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Проведем в нем диагонали и точку их пересечения обозначим буквой О.

Доказательство свойства осей симметрии прямоугольника. Шаг 1

Шаг 2

Через точку О проведем прямую n, параллельную сторонам АВ и CD. Точки пересечения прямой со сторонами ВС и AD обозначим К и Т.

Доказательство свойства осей симметрии прямоугольника. Шаг 2

Шаг 3

Рассмотрим треугольники ATО и DTO.

Так как по построению прямая КТ параллельна стороне АВ, и сторона АВ перпендикулярна стороне AD, то, следовательно, КТ будет также перпендикулярна AD.

Значит, треугольники ATО и DTO – прямоугольные.

AO = OD – так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

ОТ – общий катет.

Итак, если в прямоугольных треугольниках катет и гипотенуза равны, то по признаку равенства прямоугольных треугольников, они будут равны:

Таким образом, прямая n проходит через середину стороны AD.

Доказательство свойства осей симметрии прямоугольника. Шаг 3

Шаг 4

На стороне АВ выберем произвольную точку Х₁.

Через точку Х₁ проведем прямую, перпендикулярную прямой КТ.

Точки пересечения проведенной прямой с КТ и CD обозначим буквами I и Х₂.

Доказательство свойства осей симметрии прямоугольника. Шаг 4

Шаг 5

Рассмотрим образовавшиеся четырехугольники АХ₁IT и DX₂IT.

Рассматриваемые четырехугольники являются прямоугольниками, так как у них все углы прямые по построению.

По свойствам прямоугольника, его противоположные стороны равны:

Так как по доказанному на шаге 3:

Итак, точка, симметричная произвольной точке прямоугольника, относительно прямой KT также принадлежит прямоугольнику.

Точки К и Т симметричны сами себе относительно прямой КТ.

Доказательство свойства осей симметрии прямоугольника. Шаг 5

Шаг 6

Теперь через точку О проведем прямую m, параллельную сторонам АD и ВC. Точки пересечения прямой со сторонами AB и CD обозначим L и H.

Доказательство свойства осей симметрии прямоугольника. Шаг 6

Шаг 7

Рассмотрим треугольники LOB и LOA.

Так как по построению прямая LH параллельна стороне BC, и сторона BC перпендикулярна стороне AB, то, следовательно, LH будет также перпендикулярна AB.

Значит, треугольники LOB и LOA – прямоугольные.

AO = OB – так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

ОL – общий катет.

Итак, если в прямоугольных треугольниках катет и гипотенуза равны, то по признаку равенства прямоугольных треугольников, они будут равны:

Из свойств равных треугольников следует равенство сторон:

Таким образом, прямая m проходит через середину стороны AB.

Доказательство свойства осей симметрии прямоугольника. Шаг 7