Продолжение медиан ам и вк треугольника авс

рТПДПМЦЕОЙС НЕДЙБО AM Й BK ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC РЕТЕУЕЛБАФ ПРЙУБООХА ПЛПМП ОЕЗП ПЛТХЦОПУФШ Ч ФПЮЛБИ E Й F УППФЧЕФУФЧЕООП, РТЙЮЈН AE:AM=2:1 , BF:BK=3:2 . оБКДЙФЕ ХЗМЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC .
фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

тЕЫЕОЙЕ

дЙБЗПОБМЙ BC Й AE ЮЕФЩТЈИХЗПМШОЙЛБ ABEC ФПЮЛПК РЕТЕУЕЮЕОЙС M ДЕМСФУС РПРПМБН, ЪОБЮЙФ, ЬФПФ ЮЕФЩТЈИХЗПМШОЙЛ – РБТБММЕМПЗТБНН, Б Ф.Л. ПО ЧРЙУБО Ч ПЛТХЦОПУФШ, ФП ЬФП РТСНПХЗПМШОЙЛ. уМЕДПЧБФЕМШОП, BAC = 90 o . рХУФШ FK=t , BK=2t , AK=KC=x . рП ФЕПТЕНЕ П РТПЙЪЧЕДЕОЙСИ ПФТЕЪЛПЧ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС ИПТД AK· KC=BK· KF , ЙМЙ x 2 =2t· t = 2t 2 , ПФЛХДБ x=t . йЪ РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABK ОБИПДЙН, ЮФП
sin ABK = = = = ,
РПЬФПНХ ABK = 45 o . фПЗДБ AB=AK=x . уМЕДПЧБФЕМШОП,
tg ABC = = = 2.

фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

пФЧЕФ

90 o , arctg 2 , 90 o — arctg 2 .
фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Задание 6422

Продолжения медиан АМ и ВК треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках Е и F соответственно, причем АЕ:АМ=2:1, BF:BK=3:2.

А) 1) $$AE:EM=2:1$$. Пусть $$ME=xRightarrow AE=2x$$, $$AM=xRightarrow$$ $$ME=AM$$, $$BM=MC$$(AM-медиана ), то по свойству хорд :

$$AM*ME=BM*MCLeftrightarrow$$ $$AM^<2>=BM^<2>Rightarrow$$ $$AM=BM(1)$$

2) из равенства 1 получаем , что $$angle A=90Rightarrow$$ BC-диаметр , AE-диаметр , тогда $$AM=BM=MC=ME$$, $$angle AMB=angle CME$$(вертикальные ) $$RightarrowDelta AMB=Delta CME$$ –равнобедренные $$angle BAM=angle MECRightarrow$$ $$ABleft |
ight |EC$$

Б) 1) Пусть $$AB=a, AC=b, BC=c, BK=m_$$

По свойству хорд : $$BK*KF=AK*KC$$. Т.к. $$BK:BF=frac<2><3>$$, то $$KF=frac<1><2>BK$$. Тогда получим: $$frac<1><2>m_*m_=frac<2>*frac<2>Rightarrow$$ $$2m^<2>_=b^<2>$$. Подставим в (1): $$4m^<2>_=2a^<2>-b^<2>$$

УСЛОВИЕ:

Продолжения медиан АМ и ВК треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках Е и F соответственно, причем АЕ:АМ=2:1, BF:BK=3:2.

А) Докажите, что АВ||СЕ

Б) Найти углы треугольника АВС. (L 16)

РЕШЕНИЕ ОТ sova ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

AM- медиана Δ АВС, значит BM=MC, M — середина ВС.
ВK- медиана Δ АВС, значит AK=KC, K — середина АС.
Значит KM — средняя линия Δ АВС:
KM || AB
KM=(1/2)AB.

По условию AE:AM=2:1 ⇒ AM=ME и M — середина AE
Значит, KM — средняя линия Δ АСЕ:
KM || СЕ
KM=(1/2)СЕ.

AB || KM || CE ⇒ AB || CE

б)
[b]AB=CE=2KM[/b]
Значит и дуги АВ и СЕ, стягиваемые равными хордами равны.
рис.3
∠САЕ= ∠ BCA как углы, опирающиеся на равные дуги.

Δ АМС — равнобедренный.
MС=MA.
Так как
MA=ME, то
MC=MA=ME и поэтому
M- центр окружности, описанной около треугольника АСЕ.
а значит и около треугольника АВС.
MС=MB
MC=MA
MC=MB=MA

∠ A=90^(o)
BC и АЕ — диаметры.

KF=x, по условию BF:BK=2:3 , значит BK=2x

Медианы АМ и BK пересекаются в точке D.
AD:DM=2:1
BD:DK=2:1

По свойству пересекающихся хорд:
BD*DF=AD*DE

Из Δ MDB по теореме косинусов:
DB^2=MD^2+MB^2-2MD*MB*cos ∠ BMD
⇒
cos ∠ BMD=((R/3)^2+R^2-(4/3x)^2)/(2*(R/3)*R)=

По теореме косинусов из Δ АМВ

sin ∠ C =AB/CB=sqrt(0,8)/2=sqrt(0,2)=1/sqrt(5)
∠ C= arcsin(1/sqrt(5))

sin ∠ B= cos ∠ C= 2/sqrt(5)

tg∠ B=sin∠ B/cos∠ B=2; tg∠ C=1/2

О т в е т. 90^(o); arcsin(1/sqrt(5));arcsin(2/sqrt(5))
или
90^(o); arctg2 и arctg(1/2)