Произведение двух матриц примеры

Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Алгоритм умножения матриц

Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.

1. Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
2. Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
3. Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
4. Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
5. Складываем полученные произведения.
6. Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
7. Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
8. Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
9. Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
10. Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
11. Складываем полученные произведения.
12. Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
13. Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
14. Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
15. Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.

Пример 7
$A= egin 1 & 2 & 2\ 3 & 1 & 1 end$
$B=egin 4 & 2 \ 3 & 1 \ 1 & 5\ end$

Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.

$B cdot A = egin color4 &color2 \ color3 & color1 \ color1 & color5 end egin color1 &color2 & color2\ color3 &color1 & color1 end=$

Заметим, что $A cdot B
eq B cdot A$

Пример 8
$A= egin 5 & 2 \ 3 & 1 end B= egin 4 & 6 \ 5 & 2 end$

Опять-таки $A cdot B
eq B cdot A$.

Пример 9
$A= egin 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 1 end B= egin 5 & 2 & 1 \ 4 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 5 end$

Опять-таки $A cdot B
eq B cdot A$.

Заметим, что $A cdot I_ <2>= I_ <2>cdot A=A$.

Пример 11
$A=egin 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 1 end I_<3>= egin 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end$

Опять-таки $A cdot I_ <3>= I_ <3>cdot A = A$.

Примечание:

1. В общем случае умножение матриц некоммуникативно.
2. $Acdot I_ = I_ cdot A = A$ для любой матрицы A, имеющей n столбцов.

Произведение двух матриц

Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

• A = a ( i j ) размеров m × n ;
• B = b ( i j ) размеров p × n

Матрицу C , элементы c i j которой вычисляются по следующей формуле:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m

Вычислим произведения АВ=ВА:

А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1

Решение, используя правило умножения матриц:

А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3

Произведение А В и В А найдены, но являются матрицами разных размеров: А В не равна В А .

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц:

• ( А В ) С = А ( В С ) — ассоциативность умножения матриц;
• А ( В + С ) = А В + А С — дистрибутивность умножения;
• ( А + В ) С = А С + В С — дистрибутивность умножения;
• λ ( А В ) = ( λ А ) В

Пример 1

Проверяем свойство №1: ( А В ) С = А ( В С ) :

( А × В ) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,

А ( В × С ) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Проверяем свойство №2: А ( В + С ) = А В + А С :

А × ( В + С ) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,

А В + А С = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .

Произведение трех матриц

Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:

• найти А В и умножить на С : ( А В ) С ;
• либо найти сначала В С , а затем умножить А ( В С ) .

​​​​​Пример 3

Перемножить матрицы 2-мя способами:

4 3 7 5 × — 28 93 38 — 126 × 7 3 2 1

Алгоритм действий:

• найти произведение 2-х матриц;
• затем снова найти произведение 2-х матриц.

1). А В = 4 3 7 5 × — 28 93 38 — 126 = 4 ( — 28 ) + 3 × 38 4 × 93 + 3 ( — 126 ) 7 ( — 28 ) + 5 × 38 7 × 93 + 5 ( — 126 ) = 2 — 6 — 6 21

2). А В С = ( А В ) С = 2 — 6 — 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 — 6 × 2 2 × 3 — 6 × 1 — 6 × 7 + 21 × 2 — 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Используем формулу А В С = ( А В ) С :

1). В С = — 28 93 38 — 126 7 3 2 1 = — 28 × 7 + 93 × 2 — 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 — 126 × 2 38 × 3 — 126 × 1 = — 10 9 14 — 12

2). А В С = ( А В ) С = 7 3 2 1 — 10 9 14 — 12 = 4 ( — 10 ) + 3 × 14 4 × 9 + 3 ( — 12 ) 7 ( — 10 ) + 5 × 14 7 × 9 + 5 ( — 12 ) = 2 0 0 3

Ответ: 4 3 7 5 — 28 93 38 — 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Умножение матрицы на число

Произведение матрицы А на число k — это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

b i , j = k × a i , j

Свойства умножения матрицы на число:

• 1 × А = А
• 0 × А = нулевая матрица
• k ( A + B ) = k A + k B
• ( k + n ) A = k A + n A
• ( k × n ) × A = k ( n × A )

Пример 4

Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.

5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Умножение матрицы на вектор

Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:

• если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
• результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:

А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

• если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:

А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В :

А В = 2 4 0 — 2 1 3 — 1 0 1 1 2 — 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × ( — 1 ) — 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × ( — 1 ) — 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × ( — 1 ) = 2 + 8 + 0 — 2 + 2 — 3 — 1 + 0 — 1 = 10 — 3 — 2

Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В :

А = 3 2 0 — 1 , В = — 1 1 0 2

А В = 3 2 0 1 × — 1 1 0 2 = 3 × ( — 1 ) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × ( — 1 ) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × ( — 1 ) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × ( — 1 ) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = — 3 3 0 6 — 2 2 0 4 0 0 0 0 — 1 1 0 2

Ответ: А В = — 3 3 0 6 — 2 2 0 4 0 0 0 0 — 1 1 0 2

Свойства умножения матриц

• (A · B) · C= A · (B · C) — произведение матриц ассоциативно;
• ( z · A) · B= z · (A · B), где z — число;
• A · (B + C) = A · B + A · C — произведение матриц дистрибутивно;
• E _n · A _nm = A _nm · E _m = A _nm — умножение на единичную матрицу;
• A · B ≠ B · A — в общем случае произведение матриц не коммутативно.
• Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Примеры задач на умножение матриц

С = A · B = 4 2 9 0 · 3 1 -3 4 = 6 12 27 9

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

C = A · B = 2 1 -3 0 4 -1 · 5 -1 6 -3 0 7 = 7 -2 19 -15 3 -18 23 -4 17

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.