Производная квадратного уравнения под корнем

Выводится формула из производной степенной функции $ (x^p)’ = px^ $ и свойства записи корней $ sqrt[n] = x^<frac<1>> $:

По такому принципу берется производная кубического корня:

Для удобства выведем формулу производной корня $ n $-ой степени:

Уравнение представляет собой сложную функцию, поэтому сначала берем производную от внешней функции, а затем от внутренней:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Сначала находим внешнюю производную по правилу $ (cos x)’ = -sin x $, затем производную внутренней функции $ (sqrt)’ = frac<1><2sqrt> $ и перемножаем их между собой:

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Количество источников, использованных в этой статье: 13. Вы найдете их список внизу страницы.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

На курсах дифференциального исчисления вы наверняка учили правила дифференцирования основных функций, в том числе правило дифференцирования степенной функции. Однако если функция содержит квадратный или другой корень, например x <displaystyle <sqrt >> , может показаться, что данное правило не подходит. Тем не менее достаточно переписать ее в степенном виде, чтобы получить очевидный ответ. Если функция содержит несколько корней, такую подстановку можно делать сколько угодно раз и использовать правило дифференцирования сложной функции.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Это сложная функция √(х²-1). Чтобы разобраться, в каком порядке находить производную от нашей сложной функции, мысленно берем любой "х" и вычисляем выражение по пунктам:
Пусть "х"=2, тогда вычислять будем так:
1. х²=2²
2. х²-1=2²-1
3. √(х²-1)=√(2²-1)

Производную ищем по пунктам, но в обратную сторону:

Сначала от корня, потом от разности:

(1/2√(х²-1)) * 2х=2х/(2√(х²-1)). Это и будет ответ.