Содержание
УСЛОВИЕ:
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины К и L рёбер АВ и AD соответственно и точку М проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечение пирамиды MABCD плоскостью α является равносторонним треугольником.
б) Найдите объём пирамиды MBKL, если АВ = 6 [v1-14]
РЕШЕНИЕ ОТ u821511235 ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ
Добавил slava191 , просмотры: ☺ 29988 ⌚ 2018-09-14 23:13:23. математика 10-11 класс
Решения пользователей
Написать комментарий
1)
Отбор корней с помощью единичной окружности:
Корни уравнения:
x=2πk, k ∈ Z отмечены на единичной окружности красным цветом
x=(2π/3)+2πk, k ∈ Z отмечены на единичной окружности синим цветом
x=-(2π/3)+2πk, k ∈ Z отмечены на единичной окружности зеленым цветом
2) Отбор корней с помощью неравенства:
∠ АОВ= α ( по условию)
АО=ОВ=R ⇒ ΔAOB — равнобедренный
Проводим высоту ОС, ОС ⊥ АВ
В равнобедренном треугольнике высота одновременно и медиана и биссектриса
∠ АОС= α/2
Из прямоугольного ΔАОС:
AC=Rsin(α/2)
AB=2AC=2Rsin(α/2)
∠ BAB_(1)= ρ ( по условию) ⇒ Из прямоугольного ΔBAB_(1):
H_(цилиндра)=ВВ_(1)=АВ*tg ρ
a)
S_(сеч АВВ_(1)А_(1))=АВ*ВВ_(1)=(2Rsin(α/2))*(2Rsin(α/2))*tg ρ =
б) S_(осевого сечения)=2R*H=2R*(АВ*tg ρ)=2R*( 2Rsin(α/2))*tg ρ=
=[b]4R^2*(sin(α/2))*tg ρ[/b] (прикреплено изображение)
Что ты хочешь узнать?
Ответ
Проверено экспертом
Если противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны, то апофемы этих граней с отрезком основания, равным стороне квадрата, образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Отсюда следует, что высота пирамиды равна половине стороны основания.
1) Пусть середины рёбер MA и MB — это точки Е и К.
Отрезок ЕК как средняя линия боковой грани параллелен стороне основания АВ и, следовательно, стороне СД.
Из задания вытекает, что плоскость альфа пересекает боковую грань ВМС по линии, параллельной ребру МС.
А из приведенного выше рассуждения следует, что основание пересекается по линии РТ, параллельной стороне квадрата.
По подобию определяем, что точка пересечения плоскостью альфа стороны ВС (это точка Р) — середина ВС.
Так как 2 стороны угла ДСМ боковой грани параллельны плоскости альфа, то и ребро МД этой грани тоже параллельно плоскости альфа.
2) Примем длину стороны квадрата основания за 4 (для кратности).
Высота пирамиды равна 2. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат вершиной Д в начало, ДА — по оси Ох, ДС — по оси Оу.
Определяем координаты точек: А и С для прямой АС и точек ЕКР для плоскости альфа.
А = (4; 0; 0), С = (0; 4; 0). Направляющий вектор АС = (-4; 4; 0).
Находим уравнение плоскости альфа по координатам точек Е, К и Р.
Е = (3; 1; 1), К = (3; 3; 1), Р = (2; 4; 0).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x — x1 y — y1 z — z1 = 0
x2 — x1 y2 — y1 z2 — z1
x3 — x1 y3 — y1 z3 — z1
x — 3 y — 1 z — 1 = 0
x — 3 y — 1 z — 1 = 0
(-2) (x — 3) + 0(y — 1) + 2(z — 1) = 0
— 2 x + 2z + 4 = 0 или, сократив на -1, имеем: x — z — 2 = 0.
sin φ = |cos ψ| = | s · q | | s |·| q | =
= | sx · qx + sy · qy + sz · qz | /√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²) =
= | 1 · (-4) + 0 · 4 + (-1) · 0 | /√(1² + 0² + (-1)²) · √((-4)² + 4² + 0²) =
= | -4 + 0 + 0 |/√(1 + 0 + 1) · √(16 + 16 + 0) =
К сожалению, свободных мест нет
Задание 14 тренировочной работы Статград 24.01.2019
В основании правильной четырехугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD . Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины ребер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC .
а) Докажите, что плоскость αпараллельна ребру MD .
б) Найдите угол между плоскостью α и прямой AC .
Построим правильную четырехугольную пирамиду и отметим попарно перпендикулярные грани.
Плоскости АМВ и DMC пересекаются по прямой b . Если плоскость(АМВ) проходит через прямую, параллельную другой плоскости(АВ|| DMC ) и пересекает ее, то линия пересечения плоскостей и данная прямая параллельны: АМВ∩ DMC = b , b || AB || DC
Соответственно, апофема MS , перпендикулярная ребру DC , будет перпендикулярна и прямой b . Аналогично, апофема MR перпендикулярна прямой b .
Тогда угол между перпендикулярными плоскостями AMB и DMC – это угол между апофемами MR и MS .
Пусть сторона основания равна a .
Треугольник MRS – равнобедренный прямоугольный. Тогда, MO = OS = a /2
Построение плоскости α
1)В плоскости АМВ проведем прямую через точки G и H -середины сторон АМ и МВ.
2) По условию, плоскость сечения параллельна ребру МС, то есть плоскость α содержит прямую, параллельную МС. Значит, в плоскости MBC через точку H проведем прямую, параллельную МС. Получим точку Р-середину стороны ВС.
3) Если плоскость( α ) проходит через прямую, параллельную данной плоскости( GH || ABC ) и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой( α ꓵ ABC = PQ → PQ || GH || AB ) Получили: Q -середина AD
4) В плоскости AMD проводим прямую GQ . Получили:
GHPQ — искомая плоскость α
Из построения следует: GQ -средняя линия треугольника AMD ; GQ || MD . Тогда, по признаку параллельности прямой и плоскости, ( GHP )|| MD .
б) Угол между плоскостью α и прямой АС. Координатный метод.
Введем систему координат как показано на рисунке:
Координаты прямой АС:
Составим систему уравнений для определения координат нормального вектора плоскости α:
Так как плоскость α проходит через начало координат, D =0.
Тогда уравнение плоскости имеет вид: By + Bz =0 → y + z =0 → (0;1;1)
Загрузка...
