Проведите окружность через 3 точки

Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (см. рис.).

Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.

Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведемпрямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.

Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.

Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.

Примечание. Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.

Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (рис.), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК ⊥ АС.

Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.

Напомним, что общее уравнение кривой второго порядка выглядит так

Частные примеры кривой второго порядка это и парабола и гибербола и окружность и прямая линия.

Формула окружности с центром (a;b) и радиусом R имеет вид

или если мы раскроем скобки

из этого уравнения мы можем видеть что кривая второго порядка превращается в формулу окружности если

Из этого же мы можем утверждать, что для построения окружности нам нужно как минимум три точки, так как у нас из всех шести вышеуказанных коэффициентов, только три коэффицента неизвестны.

Бот, позволяет Вам рассчитывать формулу окружности по заданным трем точкам.

Если бы бота не было, то Вам пришлось бы решать систему уравнений из трех переменных, что не очень удобно и трудоёмко.

Интересные факты

Если Вам известны все коэффициенты кривой второго порядка , которые выражают окружность ( ), то очень легко по ним определить два основных параметра:центр окружности и радиус окружности

Центр окружности

Радиус окружности

Синтаксис

Так как это частный пример уже созданного бота то просто расскажем о нюансах

kp2 1 1 0 координаты точек

Где координаты точек есть представление в виде x:y (х-абсцисса, y-ордината)

Каждая координата точки, должна разделятся как минимум одним пробелом.

Что же такое 1 1 0 ? Это уже известные нам коэффициенты при общей формуле.

Примеры

Составить уравнение окружности, проходящей через точки (3,1) (-2,6) и (-5,-3)

Так и запишем kp2 1 1 0 3:1 -2:6 -5:-3

Перевод Кантора И.А.

Проведем через пары точек две прямые. Первая линия пусть проходит через P₁ и P₂, а прямая b — через P₂ и P₃.
Уравнения этих прямых будут

где m — коэффициент наклона линии, получаемый из

Центр круга — находится на пересечении двух перпендикулярных прямых, проходящих через середины отрезков P₁P₂ и P₂ P₃. Легко доказать, что прямая, перпендикулярная к линии с коэффициентом наклона m имеет коэффициент наклона -1/m, значит уравнения прямых, перпендикулярных a и b и проходящих через середины P₁P₂ и P₂P₃ будут

Они пересекаются в центре, и решение относительно x дает

Значение у вычислим подстановкой x в уравнение одного из перпендикуляров. Можно и наоборот: сначала решить относительно y, а потом найти x.

Радиус найти элементарно. Например, точка P₁ лежит на окружности. и мы знаем центр..