Содержание
Условие задачи:
Пружинный маятник вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое время кинетическая энергия колеблющегося тела будет в первый раз равна потенциальной энергии пружины, если период колебаний 200 мс?
Задача №9.4.8 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Решение задачи:
Пусть груз совершает гармонические колебания на пружине по закону синуса, тогда уравнение этих колебаний в общем случае можно представить в виде (начальную фазу колебаний (varphi_0) примем равной нулю):
В этой формуле (A) — амплитуда колебаний, (omega) — циклическая частота колебаний.
Если взять производную от уравнения (1), то получим уравнение скорости:
В условии сказано, что нам нужно найти время, когда кинетическая энергия колеблющегося тела будет в первый раз равна потенциальной энергии пружины:
Учитывая (1) и (2), получим:
Циклическую частоту колебаний (omega) пружинного маятника определяют по формуле:
В этой формуле (k) — жесткость пружины, (m) — масса колеблющегося груза.
Подставим это выражение в формулу (3):
Также циклическую частоту колебаний (omega) можно определить по формуле:
В таком случае уравнение (4) примет вид:
Посчитаем численный ответ:
Ответ: 0,025 с.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
X=A*cos(2*pi*t/T)
v=x`=A*2*pi/T*sin(2*pi*t/T)
Ek = mv^2/2=m*(2*pi*A)^2/(2*T^2)*sin^2(2*pi*t/T)
max_Ek = m*(2*pi*A)^2/(2*T^2) =Ek + Ep
при Ek = Ep =>
=> max_Ek = 2*Ek
=> Ek = max_Ek/2
=> m*(2*pi*A)^2/(2*T^2)*sin^2(2*pi*t/T) = m*(2*pi*A)^2/(2*T^2) * 1/2
=> sin^2(2*pi*t/T) = 1/2
=> (2*pi*t/T) = pi/4+pi/2*k
=> (t/T) = 1/8+k/4
ответ 1/8+k/4 ( в долях периода ) или t = T * (1/8+k/4)
Пружинный маятник вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое время (в долях периода) кинетическая энергия колеблющегося тела будет равна потенциальной энергии пружины?
Дано Х1=A Eк=Eп t- ?
X= A*cos w*t=A*cos ф
понятно что это минимальный промежуток времени ( так как колебания прцесс периодический , то таких моментов будет много, но минимальное время T/8)
Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.
Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.
F ( t ) = m a ( t ) = — m ω 2 x ( t ) .
Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:
Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.
То есть груз с массой m , прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2 . 2 . 1 , составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.
Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.
Рисунок 2 . 2 . 1 . Колебания груза на пружине. Трения нет.
Круговая частота
Нахождение круговой частоты ω 0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:
m a = — k x = m ω 0 2 x .
Частоту ω 0 называют собственной частотой колебательной системы.
Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:
T = 2 π ω 0 = 2 π m k .
Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:
x 0 = m g k , тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω 0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.
При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t :
Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:
m a — m x = — k x , или x ¨ + ω 0 2 x = 0 , где свободная частота ω 0 2 = k m .
Если физические системы зависят от формулы x ¨ + ω 0 2 x = 0 , тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x = x m cos ( ω t + φ 0 ) .
Свободные колебания
Уравнение вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω 0 или период Т .
Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.
При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆ l и моменте времени, равном t = 0 , производится его опускание без начальной скорости. Тогда x m = ∆ l , φ 0 = 0 . Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ± υ 0 , отсюда x m = m k υ 0 , φ 0 = ± π 2 .
Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяются наличием начальных условий.
Рисунок 2 . 2 . 2 . Модель свободных колебаний груза на пружине.
Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2 . 2 . 2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ , тогда возникает момент силы упругой деформации кручения M у п р :
Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид
I ε = M у п р = — x θ или I θ ¨ = — x θ , где моментом инерции обозначается I = I C , а ε – угловое ускорение.
Аналогично с формулой пружинного маятника:
ω 0 = x I , T = 2 π I x .
Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.
Рисунок 2 . 2 . 3 . Крутильный маятник.