Радиус вектор точки прямой

Пусть проекции точки М на координатные оси будут М(х;у;z). Вектор с началом в начале координат и концом в точке М называется радиус- вектором точки, обозначается . Следовательно, координаты точки совпадают с координатами ее радиус- вектора.

Выражение координат вектора через координаты начала и конца.

Пусть известны координаты начала и конца вектора А( и B( . Найдем координаты вектора

=

Для нахождения координат вектора необходимо: из координат конца вектора вычесть координаты его начала.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10618 — | 7996 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Описание файла

PDF-файл из архива "Семинар — Решения некоторых задач к экзамену по аналитической геометрии", который расположен в категории "лекции и семинары". Всё это находится в предмете "аналитическая геометрия и линейная алгебра" из первого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 3 страницы из PDF

Будем искать уравнение ортогональной проекции вследующем виде:r = r1 + bt.Найдём сначала радиус–вектор r1 , как точку пересечения прямой иплоскости:(r1 , n) = D, r1 = r0 + t0 a,213. Прямые и плоскости····Рис. 14. К задаче 21.r1 = r0 +D − (r0 , n)a при (a, n) 6= 0.(a, n)Найдём теперь направляющий вектор b как ортогональную проекциюна плоскость вектора a :(a, n) = λ(n, n),(a, n)n.b=a−(n, n)a = b + λn,Итак,D − (r0 , n)(a, n)r = r0 +a+ a−n t.(a, n)(n, n)З а д а ч а 22. Прямая задана как пересечение двух плоскостей(r, n1 ) = D1 и (r, n2 ) = D2 . Запишите векторное параметрическое уравнение этой прямой, т.е.

уравнение вида r = r0 + ta.Р е ш е н и е . Направляющий вектор искомой прямой равен a == [n1 , n2 ]. Будем искать радиус–вектор r0 как пересечение трёх плоскостей:(r0 , n1 ) = D1 , (r0 , n2 ) = D2 , (r0 , a) = 0.Решение этой системы уравнений имеет следующий вид:r0 =D1 [n2 , a] + D2 [a, n1 ]|[n1 , n2 ]|2.З а д а ч а 23. Найдите радиус-вектор точки пересечения прямой[r, a] = b с плоскостью (r, n) = D.Р е ш е н и е . Перепишем уравнение прямой в следующем виде:r = r0 + at,r0 =[a, n].(a, a)22Семинар 1. Решение задач к экзамену по курсу «Аналитическая Геометрия»Поскольку прямая и плоскость пересекаются, то (a, n) 6= 0. Поэтомупосле подстановки векторного параметрического уравнения прямой вуравнение плоскости получим, чтоt0 =D − (r0 , n).(a, n)Итак,r = r0 +D − (r0 , n)a.(a, n)З а д а ч а 24.

Найдите проекцию точки M0 (r0 ) на плоскость (r, n) == D параллельно прямой r = r1 + ta при условии (a, n) 6= 0.Р е ш е н и е . Заметим, что просто нужно найти радиус–вектор r2точки пересечения прямой r = r0 + at и плоскости (r, n) = D. В результате получим (смотри задачу 23)r2 = r0 +D − (r0 , n)a.(a, n)З а д а ч а 25. Найдите проекцию точки M0 (r0 ) на прямую r = r1 ++ ta параллельно плоскости (r, n) = D при условии (a, n) 6= 0.Р е ш е н и е .

Нужно найти радиус–вектор r2 точки пересеченияплоскости (r − r0 , n) и прямой r = r1 + ta. Действительно, имеемr2 = r1 +(r1 − r0 , n)a.(a, n)З а д а ч а 26. Найдите ортогональную проекцию точки M0 (r0 ) напрямую [r, a] = b.Р е ш е н и е . Пусть M2 (r2 ) — это искомая точка ортогональной проекции точки M0 (r0 ) на прямую. Тогда выполнено следующее условие:−−−−→ M0 M2 , a = 0 ⇔ (r2 − r0 , a) = 0.Поскольку r2 = r1 + at0 при некотором t0 , то имеемt0 =(r0 − r1 , a),(a, a)r2 = r1 +(r0 − r1 , a)a.(a, a)З а д а ч а 27.

Найдите ортогональную проекцию точки M0 (r0 ) наплоскость r = r0 + ua + vb.Р е ш е н и е . Нужно найти точку M2 (r2 ) пересечения прямой r == r0 + t[a, b] и плоскости (r − r1 , [a, b]) = 0. Итак,r2 = r0 +(r1 − r0 , [a, b])|[a, b]|2[a, b].З а д а ч а 28. Найдите расстояние между двумя параллельнымиплоскостями r = r1 + ua + vb и r = r2 + ua + vb.3. Прямые и плоскости23Р е ш е н и е . Общая формула для вычисления расстояния от точкиM1 (r1 ) до плоскости (r, n) = D имеет следующий вид:d=|(r1 , n) − D|.|n|Исходя из этой формулы получаемd=|(r1 − r2 , [a, b])|.|[a, b]|З а д а ч а 29.

Найдите расстояние между двумя параллельнымиплоскостями (r, n) = D1 и (r, n) = D2 .Р е ш е н и е . В соответствии с предыдущей задачей имеемd=|D − D1 ||(r2 , n) − D1 |= 2.|n||n|З а д а ч а 30. Найдите расстояние от точки M0 (r0 ) до прямой[r, a] = b.Р е ш е н и е . Запишем уравнение прямой [r, a] = b в векторнойпараметрической формеr = r1 + at,r1 =[a, b].(a, a)Пусть M2 (r2 ) — это ортогональная проекция точки M0 (r0 ) на прямую.Тогда в силу задачи 26 имеемr2 = r1 +(r0 − r1 , a)(r , a)a = r1 + 0a.(a, a)(a, a)Таким образом, имеем [a, b] + (r0 , a)a− r0 .d = |r2 − r0 | = (a, a)З а д а ч а 31.

Составьте уравнение плоскости, содержащей параллельные прямые r = r1 + ta и r = r2 + ta.Р е ш е н и е . Очевидно, уравнение следующее:(r − r1 , [r2 − r1 , a]) = 0.З а д а ч а 32. Найдите расстояние между параллельными прямымиr = r1 + ta и r = r2 + ta.Р е ш е н и е . С одной стороны, площадь треугольника △A1 A2 A3равнаSA1 A2 A3 = |[r1 − r2 , a]| .С другой стороны, равнаSA1 A2 A3 = h|a|,24Семинар 1.

Решение задач к экзамену по курсу «Аналитическая Геометрия»··h··Рис. 15. К задаче 32.где h — это искомое расстояние. Итак, имеемh=|[r1 − r2 , a]|.|a|З а д а ч а 33. Найдите расстояние между параллельными прямыми[r, a] = b1 и [r, a] = b2 .Р е ш е н и е . Запишем уравнения этих прямых в векторной параметрической форме:r = r1 + at,r1 =[a, b1 ],(a, a)r = r2 + at,r1 =[a, b2 ].(a, a)Тогда в соответствии с задачей 32 получимh=|[r1 − r2 , a]||b1 − b2 |=.|a||a|З а д а ч а 34. Составьте уравнение плоскости, проходящей черезлинию пересечения плоскостей (r, n1 ) = D1 и (r, n2 ) = D2 перпендикулярно плоскости (r, n3 ) = D3 .Р е ш е н и е . По условию задачи векторы [n1 , n2 ] и n3 параллельныплоскости. Предположим, что [n3 , [n1 , n2 ]] 6= ϑ.

Тогда уравнение искомой плоскости имеет следующий вид:(r − r0 , n) = 0,n = [n3 , [n1 , n2 ]].Осталось найти радиус–вектор r0 какой–нибудь точки M0 , лежащейна плоскости. Будем искать эту точку как точку пересечения трёхплоскостей:(r0 , n1 ) = D1 ,(r0 , n2 ) = D2 ,(r0 , [n1 , n2 ]) = 03. Прямые и плоскости25Таким образом, имеемr0 =D1 [n2 [n1 , n2 ]] + D2 [[n1 , n2 ], n1 ]|[n1 , n2 ]|2З а д а ч а 35. Составьте уравнение плоскости, проходящей черезточку M0 (r0 ) и прямую [r, a] = b.Р е ш е н и е .

Запишем уравнение прямой в векторной параметрической форме:[a, b]r = r1 + at, r1 =.(a, a)Тогда уравнение плоскости имеет следующий вид:(r − r0 , [r1 − r0 , a]) = 0.З а д а ч а 36. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми [r, a1 ] = b1 и [r, a2 ] = b2 .Р е ш е н и е . Запишем уравнения прямых в векторной параметрической форме[a1 , b1 ]r = r 1 + a 1 t, r 1 =;(a1 , a1 )[a2 , b2 ].r = r 2 + a 2 t, r 2 =(a2 , a2 )Тогда искомое расстояние равноh=|(r1 − r2 , [a1 , a2 ])|.|[a1 , a2 ]|Справедливы следующие равенства:1([a1 , b1 ], [a1 , a2 ]) = (b1 , a2 ),(a1 , a1 )(r2 , [a1 , a2 ]) = −(a1 , b2 ).(r1 , [a1 , a2 ]) =Тогда приходим к следующей формуле:h=|(b1 , a2 ) + (a1 , b2 )|.|[a1 , a2 ]|.

Даны прямая $%r=r_0+at$% и плоскость $%(r,n)=D$%, не параллельные между собой. Точка $%M$% лежит на прямой и удалена от плоскости на расстояние $%p$%. Найти радиус-вектор точки $%M$%.

задан 25 Окт ’14 18:47

Uchenitsa
1.3k ● 18 ● 80
97&#037 принятых

Если не составлять каких-то специальных формул векторной алгебры, то решить можно так. Берём известную формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной уравнением. Если не путаю, она имеет вид $%frac<|Ax+bY+Cz-D|><sqrt>$%. Вместо координат подставляем выраженные через $%t$% координаты точки прямой из параметрического уравнения. Приравниваем расстояние к числу $%p$% и находим два значения $%t$%. Потом его подставляем в уравнение прямой и получаем радиус-вектор.

@falcao, спасибо за решение! Я решила с помощью векторов, не раскладывая на координаты, но Ваш метод мне помог