Содержание
Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
 |
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. |
Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?
Равносторонний треугольник. Свойства.
| Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны . |
Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме , значит, каждый по .
| Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!). |
Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:
 |
Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный. |
Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!
| Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан. |
| Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. |
 |
Уже должно быть очевидно, отчего так.
Посмотри на рисунок: точка – центр треугольника. Значит, – радиус описанной окружности (обозначили его ), а – радиус вписанной окружности (обозначим ).
Но ведь точка – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины.
Поэтому , то есть .
| Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны. |
Давай удостоверимся в этом.
Равносторонний треугольник. Высота
 |
Рассмотрим – он прямоугольный.
Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности
 |
Мы уже выяснили, что точка – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, .
Величину мы уже находили. Теперь подставляем:
Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности
 |
Это уже теперь должно быть совсем ясно
Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.
Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: .
 |
|
|
|
|
|
В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны :
|
|
Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:
a — сторона треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Калькулятор — вычислить, найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.
1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.
Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a
точка O — центр вписанной окружности.
AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.
2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:
Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности
Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону
можем найти площадь через r:
Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —
3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:
4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.
5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:
Загрузка...
