Расчет цепи методом наложения

Метод наложения основан на принципе суперпозиции, согласно которому ток в любой ветви сложной схемы равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности.

По методу наложения рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные ЭДС из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников. Затем находят токи в ветвях исходной схемы путем алгебраического сложения частичных токов.

Порядок выполнения расчета рассмотрим на примере схемы, показанной на рис. 6, а.

1. Определяют частичные токи I 1 ‘, I 2 ‘ и I 3 ‘ в ветвях электрической цепи при действии одной ЭДС E 1 (ЭДС Е 2 исключена из цепи) (рис. 6, б).
   Направление частичных токов задают в соответствии с направлением ЭДС, расчет токов ведут с использованием метода эквивалентных преобразований.
2. Определяют частичные токи I 1 «, I 2 » и I 3 » при действии ЭДС Е 2 (рис.6, в). (ЭДС E 1 исключена из цепи).
3. Определяют реальные токи I 1 , I 2 и I 3 в ветвях исходной цепи (рис.6, а) как алгебраическую сумму частичных токов при мысленном совмещении цепей, изображенных на рис. 6, б и 6, в.

Частичный ток берется со знаком «плюс», если его направление совпадает с направлением реального тока в исходной цепи, со знаком «минус» — при встречном направлении.

Метод наложения применяется для цепей со смешанным соединением приемников, имеющих несколько источников энергии. Он основан на принципе суперпозиции, который применительно к электрической цепи гласит:

если в цепи действует несколько источников энергии, то токи в ее ветвях можно рассматривать как алгебраическую сумму токов от действия каждого источника в отдельности.

При расчете цепей по методу наложения поочередно исключают все источники ЭДС кроме одного и определяют токи в ветвях, эти токи называются частичными или парциальными.

Рис. 1.12. Схемы цепи для определения токов по методу наложения: (а) – исходная, (б) – от ЭДС Е₁, (в) – от ЭДС Е₂, (г) – для определения эквивалентного сопротивления цепи

Для цепи, представленной на рис. 1.12а исключаем ЭДС Е₂, тогда цепь принимает вид, представленный на рис. 1.12б. Направления парциальных токов,ипредставлены в соответствии с направлением ЭДС Е₁. Парциальные токи находим по методу эквивалентного преобразования. Приемники R₂и R₃ включены параллельно, их можно заменить одним эквивалентным с сопротивлением

.

После замены цепь принимает вид, представленный на рис. 1.12г, ее элементы включены последовательно и ток I₁’ можно определить по закону Ома

.

Напряжение на участке R₂₃можно найти по закону Ома для участка цепи

.

Зная напряжение U₂₃легко определить токии

.

Парциальные токи от действия источника Е₂находятся аналогично, пользуясь схемой 1.12 в.

Токи в ветвях исходной цепи находятся алгебраическим суммированием соответствующих парциальных токов:

и , и , и .

Пусть парциальные токи имеют следующие значения:

= 17A,= 7A,= 10A,= 2A,= 6A,= 4A.

Ток , образованный первым источником Е₁течет по схеме снизу вверх, а ток, образованный вторым источником Е₂, течет по схеме сверху вниз, рис. 1.12б и рис. 1.12в. Причем>, следовательно

I₁=–= 17 – 2= 15 A

и имеет направление большего тока , т.е. по схеме снизу вверх. Аналогично находятся токи I₂и I₃

I₂=–= 7 – 6 = 1 A,

I₃=+= 10 + 4 =14 A.

1.11. Понятие о балансе мощностей.

Независимо от того, каким методом проводился расчет цепи, для проверки правильности расчета составляется баланс мощностей.

Согласно закону сохранения энергии сумма мощностей, развиваемых всеми источниками энергии, включенных в цепь, равна сумме мощностей отдаваемых приемником и мощностей потерь внутри источника.

,

где i – номер ветви цепи,

n – число ветвей

Произведение EiIi берется со знаком “+” если направления ЭДС источника Е и тока I в i – ветви цепи совпадают, если не совпадают, то произведение EiIi берется со знаком “–“. Физически знак “–“ означает, что данный источник энергии работает приемником. При правильно рассчитанных токах баланс мощностей должен сходиться с точностью до 2%.

1.12 Потенциальная диаграмма.

Потенциальная диаграмма – это график распределения потенциала вдоль какого-либо замкнутого контура цепи. Потенциальная диаграмма строится в прямоугольной системе координат, в которой по горизонтальной оси откладываются значения сопротивлений между i-точкой контура и произвольно выбранной точкой, потенциал которой принят равным нулю.

Рис. 1.13. Контур сложной электрической цепи (а) и его потенциальная диаграмма (б)

По вертикальной оси откладываются значения потенциалов всех точек контура, в которых соединены два любых его элемента, рассчитанные относительно нулевой точки. При расчете потенциалов следует помнить, что в пассивном элементе стрелка тока указывает направление уменьшения потенциала. Поэтому при переходе через пассивный элемент, например резистор, потенциал понижается на величину падения напряжения в нем, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода контура. Если это условие не выполняется, потенциал повышается на величину падения напряжения. Стрелка ЭДС, наоборот, указывает направление увеличения потенциала. Поэтому при переходе через источник энергии с ЭДС Еi и внутренним сопротивлением r_i= 0 потенциал скачком увеличивается на величину ЭДС источника Еi, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура. Если это условие не выполняется, потенциал скачком уменьшается на величину ЭДС источника Ei. Рассмотрим расчет потенциалов и построение диаграммы на примере контура, представленного на рис. 1.13 а.

Потенциал точки 0 примем равным нулю = 0 R= 0. Потенциал точки “а” выше потенциала точки “0” на величину I₁R₁, т.к. направление обхода не совпадает с направлением тока I₁, т.е.. Сопротивление между точкой “0” и точкой “а” R_0аравно сопротивлению резистора R₁, т.е. R_0а= 2 Ом.

Потенциал точки “b” выше потенциала точки “а” на величину ЭДС Е₁, т.к. направление обхода совпадает с направлением ЭДС Е₁, т.е.. Сопротивление между точкой “0” и точкой “b” R_0bпо-прежнему R₁, т.е. R_0b= 2Ом.

Потенциал точки “c” рассчитывается аналогично:, а сопротивление между точками “0” и “с” R_0скак видно из рис. 1.13а R_0с= R₁+ R₂= 2 + 5 =7 Ом.

Расчет потенциалов и сопротивлений для других точек контура проводится аналогично и дает: _d= 12 В, R_0d= 7 Ом; _e= 6,5 В, R_0e= 15 Ом; _f = – 8,5 В, R_0f= 15 Ом.

Заканчивается расчет вычислением потенциала точки “0” относительно предыдущей точки f:

= _f + I₃R₃= – 8,5 +2,83

При правильно рассчитанных токах потенциальная диаграмма начинается в точке с =0 и заканчивается также в точке с = 0, т.к. работа по переносу заряда не зависит от формы пути, а зависит от координат начальной и конечной точек.

Наряду с методом контурных токов для анализа электрических цепей используется другой метод – метод наложения . Этот метод основан на принципе наложения, который применяется только к линейным системам.

Метод наложения относительно прост, и в основном применяется для не сложных электрических цепей.

Его суть заключается в том, что токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма их составляющих от каждого источника. То есть каждый источник тока вносит свою часть в каждый ток в цепи, а чтобы найти эти токи, нужно найти и сложить все составляющие. Таким образом, мы сводим решение одной сложной цепи к нескольким простым (с одним источником).

Порядок расчета

1 – Составление частных схем, с одним источником ЭДС, остальные источники исключаются, от них остаются только их внутренние сопротивления.

2 – Определение частичных токов в частных схемах, обычно это несложно, так как цепь получается простой.

3 – Алгебраическое суммирование всех частичных токов, для нахождения токов в исходной цепи.

Пример решения методом наложения

1. Для начала произвольно выберем направление токов, если в итоге какой либо ток получится со знаком минус, значит нужно изменить направление данного тока на противоположное.

2. Составим частную схему с первым источником ЭДС и рассчитаем частные токи в ней, убрав второй источник. Для удобства частичные токи будем обозначать штрихами.

Свернем схему к одному контуру, с сопротивлением источника и эквивалентным сопротивлением цепи для нахождения тока источника I₁. Для тех, у кого возникают затруднения с нахождением эквивалентного сопротивления рекомендуем прочесть статью виды соединения проводников.

Найдем ток по закону Ома для полной цепи

Найдем напряжение на R 2345

Тогда ток I₃ равен

Определим напряжение на R₂₅

3. Составим частную схему со вторым источником ЭДС

Аналогичным образом вычислим все частичные токи от второй ЭДС

4. Найдем токи в исходной цепи, для этого просуммируем частичные токи, учитывая их направление. Если направление частичного тока совпадает с направлением исходного тока, то берем со знаком плюс, в противном случае со знаком минус.

5. Проверим с правильность решения с помощью баланса мощностей.

Небольшая погрешность связана с округлениями промежуточных значений в ходе выполнения вычислений.