9.2. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ С ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Основой расчета являются уравнения цепи (Кирхгофа, контурные или узловые), составленные с учетом взаимного влияния индуктивно связанных элементов.
Для анализа последовательного соединения двух связанных катушек используем уравнения Кирхгофа. При этом маркированные зажимы последовательно включенных катушек могут быть соединены по-разному. Суммарное напряжение согласно включенных катушек (рис. 9.4, а ) равно
Величина L э = ( L 1 + L 2 + 2 M ) в этом случае представляет собой эквивалентную индуктивность .
Для встречного включения (рис. 9.4, б ) имеем
и эквивалентная индуктивность равна L э = ( L 1 + L 2 – 2 M ).
Если две индуктивно связанные катушки (рис. 9.5, а ) имеют общую точку (пусть, например, их немаркированные зажимы соединены друг с другом), то, переписав соотношения для напряжений (9.1) в форме:
получаем возможность заменить их Т-образной схемой замещения, не содержащей индуктивных связей (рис. 9.5, б ).
Для определения эквивалентной индуктивности параллельно соединенных катушек (рис. 9.6, а ), преобразуем эту схему в изображенную на рис. 9.6, б . Поскольку индуктивности при последовательном и параллельном соединениях суммируются по тем же правилам, что и сопротивления, для эквивалентной индуктивности параллельного соединения имеем:
Так как соединенные произвольным образом катушки сохраняют индуктивный характер, то эквивалентная индуктивность при встречном и параллельном соединениях имеет положительное значение, несмотря на наличие отрицательных слагаемых в полученных выражениях. Это означает, что значения L 1 , L 2 и M двух катушек не независимы друг от друга, а связаны неравенствами: L 1 L 2 ³ M 2 ; L 1 + L 2 ³ 2 M . Возведением второго из неравенств в квадрат можно убедиться, что оно является более сильным, чем первое неравенство, т. е. условие L 1 L 2 ³ M 2 обеспечивает выполнение и второго неравенства.
Величина 
коэффициент связи обмоток характеризует степень взаимного влияния обмоток друг на друга. При k = 1 или 
имеем совершенную связь обмоток
 |
весь поток, создаваемый одной обмоткой, пересекает сечение витков второй обмотки. К этому режиму можно приблизиться, помещая обе обмотки на общем сердечнике (рис. 9.7), материал которой имеет высокую магнитную проницаемость, либо располагая их витки бесконечно близко друг к другу. При указанных приближениях получим для индуктивности
первой обмотки L 1 = w 1 Φ/ i 1 = 
/ R м ( R м магнитное сопротивление сердечника). Аналогично L 2 = 
/ R м ; M = w 1 w 2 / R м и k = 1. В системе произвольного числа индуктивно связанных обмоток для любой пары выполняется условие
и матрица взаимных индуктивностей М является при отсутствии совершенных связей (kpq @ 1) одна из индуктивностей в Т-образной схеме замещения (рис. 9.5, б) может оказаться отрицательной. Так, при L 1 > M > L 2 имеем L 2 – M Продолжить чтение . 
Перейти к п. 9.3 .
Для расчета разветвленных цепей с индуктивно связанными элементами (рис. 9.8) используем метод контурных токов.
Контурные уравнения в комплексной форме имеют общий вид:
Выбор независимых контуров указан стрелками на схеме.
При записи собственных и общих сопротивлений запишем по уже известным правилам сначала члены, не связанные с взаимной индуктивностью. Далее учтем члены, отражающие индуктивные связи. В собственных сопротивлениях контуров слагаемые + j 2ω M появляются, если обе индуктивно связанные катушки входят в данный контур и их маркировка соответствует согласному включению в этом контуре. Если при обходе контура, включающего две связанные катушки, одна из катушек обтекается контурным током в положительном, а другая – в отрицательном направлении, то член в соответствующем собственном сопротивлении будет иметь знак “минус”, т. е. – j 2ω M .
При записи общего сопротивления двух контуров учитывается их взаимное индуктивное влияние друг на друга. Здесь член j ω M имеет знак “плюс”, если положительные направления обоих контурных токов ориентированы одинаково относительно маркированных зажимов катушек, и оба тока протекают по ним либо в положительном, либо в отрицательном направлении. Если же один из влияющих друг на друга токов протекает в положительном, а другой – в отрицательном направлении, в общем сопротивлении контуров учитывают член – j ω M . С учетом сформулированных правил получим для контурных сопротивлений цепи (см. рис. 9.8):
Продолжение решения см. в Задаче 9.2.
Другой пример расчета цепи при наличии взаимной индуктивности детально рассмотрен в Задаче 9.1.
Дата добавления: 2014-10-07 ; просмотров: 3357 ; Нарушение авторских прав
В электрической цепи (рис. 4.17) действию переменного напряжения и создаваемого им тока противодействует ЭДС самоиндукции eL = — Ldi/dt. При этом в любой момент времени ток имеет такое мгновенное значение, при котором противодействие равно действию, т. е. и= — е.
В моменты времени, когда ток достигает
 |
амплитуды i = Im, скорость его изменения
di/dt = O (ток перестал увеличиваться,
в следующий момент времени он
Значит, синусоидальные напряжения и ток
сдвинуты по фазе на 90°.
Фактором, сдвигающим ток по фазе, является
Изменение тока катушки индуктивности происходит за счет изменения напряжения. Появление напряжения — причина возникновения тока катушки. Поэтому на индуктивности ток отстает от напряжения на угол 90° (1) (рис. 4.18).
Примем i = Im sin ωt . Тогда и = — eL = Ldi/dt = Ld (Im sin ωt) / dt = ωLIm cos ωt = Um sin ( ωt +90°), что подтверждает положение (1) и дает выражение Um = ωLIm. Разделив его на √2, имеем U = ωLI ,
Формула (4.7) отражает закон Ома для участка цепи с индуктивностью, а (4.8) позволяет рассчитать индуктивное сопротивление.
По аналогии с емкостным сопротивлением значение индуктивного сопротивления нельзя относить к мгновенным значениям тока и напряжения.
Значит, ЭДС самоиндукции отстает от тока по фазе на 90°
(рис. 4.19). Учитывая, что напряжение опережает ток
по фазе на угол 90°, делаем вывод, что в цепи с индуктивностью напряжение и ЭДС самоиндукции находятся в противофазе, т. е.
ЭДС самоиндукции уравновешивает действие напряжения (2).
 |
Мгновенное значение мощности р=иi в цепи с индуктивностью непрерывно изменяется.
Подобно конденсатору, индуктивность обменивается энергией с источником так, что средняя мощность за период (активная мощность) равна нулю, а реактивная индуктивная мощность QL, подобно реактивной емкостной мощности, равна амплитудному значению мгновенной мощности:
4.6. ЦЕПЬ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ АКТИВНОГО И ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ
Расчеты цепей переменного тока проводят не для мгновенных, а для действующих значений токов и напряжений, которые в дальнейшем будем называть ток и напряжение.
Для цепи переменного тока справедливо положение (3). При этом создаваемые током падения напряжений UR = IR и Ul = IXl совместно противодействуют напряжению источника.
Если бы UR и UL совпадали по фазе, то U=UR+Ul = 140 В. Докажем, что они не совпадают по фазе, при помощи векторной диаграммы (рис. 4.21). Построение диаграммы начинаем с вектора тока, так как он одинаков для обоих участков.
 |
К нему пристраиваем вектор UR , совпадающий по фазе с током на активном сопротивлении (см. рис. 4.10), и вектор UL, опережающий ток по фазе на 90° на индуктивном сопротивлении (см. рис.4.18). Получаем, что векторы UR и UL сдвинуты между
собой по фазе на 90°. Складывая их, находим резуль
тирующее напряжение цепи:
В цепи, имеющей, кроме индуктивного, активное сопротивление, напряжение опережает ток на угол, значение которого меньше, чем 90°(1).
Из уравнения (4.9) U=√I 2 R 2 + √I 2 X 2 L = I√R 2 + √X 2 L = IZ,
где Z – полное сопротивление цепи:
Формула (4.11) отражает закон Ома, а (4.10) позволяет вычислять полное сопротивление цепи. Разделив стороны треугольника напряжений (выраженные в единицах напряжения) (рис. 4.21) на ток, получаем треугольник сопротивлений (рис. 4.22), из которого
R= Z cos φ; XL = Z sin φ. (4.12)
Активная мощность рассматриваемой цепи P = I 2 R, реактивная
Ql = I 2 Xl. Полная мощность цепи S = I 2 Z.
Умножив стороны треугольника напряжений (выраженные в единицах напряжения) на ток, получаем треугольник мощностей (рис. 4.23), из которого
S = UI, S = P 2 + Q 2 L ; (4.13)
P = S cosφ = UI cosφ; (4.14)
Q = S sin φ == UI sin φ. (4.15)
За единицу активной мощности принят ватт (Вт), реактивной — вольт-ампер реактивный (вар), полной — вольт-ампер (В • А).
Из формул (4.12), (4.15) можно определить cosφ или sinφ , азатем угол φ, который является углом сдвига фаз между током и напряжением. Этот угол можно также найти из рис.4.21, 4.22, 4.23. Во всех треугольниках он одинаковый, так как треугольники подобные.
9.2. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ С ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Основой расчета являются уравнения цепи (Кирхгофа, контурные или узловые), составленные с учетом взаимного влияния индуктивно связанных элементов.
Для анализа последовательного соединения двух связанных катушек используем уравнения Кирхгофа. При этом маркированные зажимы последовательно включенных катушек могут быть соединены по-разному. Суммарное напряжение согласно включенных катушек (рис. 9.4, а ) равно
Величина L э = ( L 1 + L 2 + 2 M ) в этом случае представляет собой эквивалентную индуктивность .
Для встречного включения (рис. 9.4, б ) имеем
и эквивалентная индуктивность равна L э = ( L 1 + L 2 – 2 M ).
Если две индуктивно связанные катушки (рис. 9.5, а ) имеют общую точку (пусть, например, их немаркированные зажимы соединены друг с другом), то, переписав соотношения для напряжений (9.1) в форме:
получаем возможность заменить их Т-образной схемой замещения, не содержащей индуктивных связей (рис. 9.5, б ).
Для определения эквивалентной индуктивности параллельно соединенных катушек (рис. 9.6, а ), преобразуем эту схему в изображенную на рис. 9.6, б . Поскольку индуктивности при последовательном и параллельном соединениях суммируются по тем же правилам, что и сопротивления, для эквивалентной индуктивности параллельного соединения имеем:
Так как соединенные произвольным образом катушки сохраняют индуктивный характер, то эквивалентная индуктивность при встречном и параллельном соединениях имеет положительное значение, несмотря на наличие отрицательных слагаемых в полученных выражениях. Это означает, что значения L 1 , L 2 и M двух катушек не независимы друг от друга, а связаны неравенствами: L 1 L 2 ³ M 2 ; L 1 + L 2 ³ 2 M . Возведением второго из неравенств в квадрат можно убедиться, что оно является более сильным, чем первое неравенство, т. е. условие L 1 L 2 ³ M 2 обеспечивает выполнение и второго неравенства.
Величина коэффициент связи обмоток характеризует степень взаимного влияния обмоток друг на друга. При k = 1 или имеем совершенную связь обмоток
| |
весь поток, создаваемый одной обмоткой, пересекает сечение витков второй обмотки. К этому режиму можно приблизиться, помещая обе обмотки на общем сердечнике (рис. 9.7), материал которой имеет высокую магнитную проницаемость, либо располагая их витки бесконечно близко друг к другу. При указанных приближениях получим для индуктивности
первой обмотки L 1 = w 1 Φ/ i 1 = / R м ( R м магнитное сопротивление сердечника). Аналогично L 2 = / R м ; M = w 1 w 2 / R м и k = 1. В системе произвольного числа индуктивно связанных обмоток для любой пары выполняется условиеи матрица взаимных индуктивностей М является при отсутствии совершенных связей (kpq @ 1) одна из индуктивностей в Т-образной схеме замещения (рис. 9.5, б) может оказаться отрицательной. Так, при L 1 > M > L 2 имеем L 2 – M Продолжить чтение . Перейти к п. 9.3 .
Для расчета разветвленных цепей с индуктивно связанными элементами (рис. 9.8) используем метод контурных токов.
Контурные уравнения в комплексной форме имеют общий вид:
Выбор независимых контуров указан стрелками на схеме.
При записи собственных и общих сопротивлений запишем по уже известным правилам сначала члены, не связанные с взаимной индуктивностью. Далее учтем члены, отражающие индуктивные связи. В собственных сопротивлениях контуров слагаемые + j 2ω M появляются, если обе индуктивно связанные катушки входят в данный контур и их маркировка соответствует согласному включению в этом контуре. Если при обходе контура, включающего две связанные катушки, одна из катушек обтекается контурным током в положительном, а другая – в отрицательном направлении, то член в соответствующем собственном сопротивлении будет иметь знак “минус”, т. е. – j 2ω M .
При записи общего сопротивления двух контуров учитывается их взаимное индуктивное влияние друг на друга. Здесь член j ω M имеет знак “плюс”, если положительные направления обоих контурных токов ориентированы одинаково относительно маркированных зажимов катушек, и оба тока протекают по ним либо в положительном, либо в отрицательном направлении. Если же один из влияющих друг на друга токов протекает в положительном, а другой – в отрицательном направлении, в общем сопротивлении контуров учитывают член – j ω M . С учетом сформулированных правил получим для контурных сопротивлений цепи (см. рис. 9.8):
Продолжение решения см. в Задаче 9.2.
Другой пример расчета цепи при наличии взаимной индуктивности детально рассмотрен в Задаче 9.1.
Загрузка...
