Содержание
Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым, какой – третьим.
Рассмотрим ортонормированные базисы, приведенные к общему началу. Тогда возникает вопрос: можно ли все эти базисы свести к одному при помощи вращения вокруг общей точки? Оказывается, что все ортонормированные базисы распадаются на два класса: правый и левый.
Тройка векторов называется правой, если эти вектора, приведенные к одному началу, располагаются также как расставленные пальцы правой руки: большой палец – по первому вектору, указательный – по второму, средний – по третьему. Если смотреть во внутрь телесного угла, образованного этими векторами, то движение от первого ко второму, от второго к третьему будет совершаться против часовой стрелки. Обычно на практике рассматриваются только правые системы векторов.
3 | |
Правая тройка | Левая тройка |
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим условиям:
а) |c| = |a|×|b|×sinj,
б) вектор с перпендикулярен к обоим векторам a и b,
в) упорядоченная тройка a,b,c – правая.
Векторное произведение обозначается символом a´b = [a,b].
Замечание. Отметим, что понятие векторного произведения также возникло в механике. Пусть F – сила приложенная к точке А, а r – радиус-вектор точки А относительно точки О. Тогда вектор M=r´F представляет собой момент силыотносительно точки О.
Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1 о . a´b = –b´a (антикоммутативность),
2 о . k(a´b) = (ka)´b = a´(kb),
3 o . a´(b+c) = a´b + a´c,
4 o . a´a = .
Пример 7.7. Вычислить выражение |(2a+b)´(a+2b)|, если |a|=1, |b|=2 и j = a^b =2p/3.
Решение. Раскроем скобки, учитывая свойства векторного произведения векторов:
(2a+b)´(a+2b) = 2a´a+b´a+4a´b+2b´b = –a´b+4a´b+ = 3a´b.
Далее из определения векторного произведения следует:
|(2a+b)´(a+2b)| = |3a´b| =3|a||b|sinj = 3×1×2×sin120 0 = 3Ö3. â
Из определения векторного произведения векторов, в частности, следует, что необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения:
a||b Û a´b =
Различные комбинации векторных произведений базисных векторов i, j, k можно записать следующим образом:
i´i = j´j = k´k = , i´j =×k, j´k×= i, k´i = j.
Пример 7.8. Упростить выражение i´(j+k)+j´(i+k).
Решение. Раскроем скобки и затем учтем соотношения между базисными векторами
i´(j+k)+j´(i+k) = i´j+i´k+j´i+j´k = k–j–k+i = i–j. â
Теорема 7.3. Если два вектора a и b определены своими координатами в ортонормированном базисе: a=<x1, y1, z1>,b=<x2, y2, z2>, то векторное произведение вычисляется по формуле:
Доказательство. Действительно, учитывая, что a=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+z2k, получим
Далее, учитывая свойства определителей, получим искомую формулу. &
Геометрический смысл векторного произведения векторов a и b заключается в том, что модуль векторного произведения |a´b| равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Вопрос. При каком условии справедливо равенство (a´b) 2 = a 2 b 2 .
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8913 — | 7222 — или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
(i, j, k) — единичные векторы
- Попроси больше объяснений
- Следить
- Отметить нарушение
Den0410 05.10.2019
Что ты хочешь узнать?
Ответ
Проверено экспертом
Вычислим векторные произведения:
- Комментарии
- Отметить нарушение
Ответ
Раскрывали векторное произведение, и учитывали, что даны орты.
Если бы были скалярные произведение, тогда ответ был бы нулем, т.к. косинус угла равнялся нулю. Но тут векторное произведение. Поэтому ответ 3
Что ты хочешь узнать?
Ответ
Проверено экспертом
Векторы ортонормированного базиса
Так как базисные векторы взаимно перпендикулярны, то скалярное произведение любых двух из них равно 0.
«>