Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле

1.3.1. Прямоугольная область интегрирования

При сведении двойных интегралов к повторным, основная трудность возникает при расстановке пределов во внутренних интегралах. Наиболее просто это сделать для прямоугольных областей (см. рис. 1.5).

Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл

Решение. Запишем двойной интеграл в виде повторного:

1.3.2. Произвольная область интегрирования

Для того, чтобы перейти от двойного интеграла к повторному следует:

1) построить область интегрирования;

2) расставить пределы в интегралах, при этом следует помнить, что пределы внешнего интеграла должны быть постоянными величинами (т.е. числами) независимо от того, по какой переменной вычисляется внешний интеграл.

Пример 1.3. Расставить пределы интегрирования в соответствующих повторных интегралах для двойного интеграла

, если а) б)

Решение. а) Изобразим область интегрирования D (см. рис.1.6). Пусть интегрирование во внешнем интеграле производится по переменной x, а во внутреннем – по y. Расстановку пределов всегда нужно начинать с внешнего интеграла, в данном случае с переменной x. Из рисунка видно, что x изменяется от 0 до 1, при этом значения переменной y будут изменяться от значений на прямой y=x до значений на прямой y=2x. Таким образом, получаем

Пусть теперь интегрирование во внешнем интеграле производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае значения y будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда верхняя граница изменений значений переменной x будет состоять из двух участков x=y/2 и x=1. Это означает, что область интегрирования нужно разбить на две части прямой y=1. Тогда в первой области y изменяется от 0 до 1, а x от прямой x=y/2 до прямой x=y. Во второй области y изменяется от 1 до 2, а x – от прямой x=y/2 до прямой x=1. В результате получим

б) Построим область интегрирования D (см. рис.1.7). Пусть во внешнем интеграле интегрирование производится по x, а во внутреннем – по y. В этом случае при изменении x от –1 до 1 изменения переменной y сверху будут ограничены двумя линиями: окружностью и прямой. На отрезке [–1;0] y изменяется от y=0 до ; на отрезке [0;1] переменная y изменяется от y=0 до y=1–x. Таким образом,

Пусть теперь во внешнем интеграле интегрирование производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае y будет изменяться от 0 до 1, а переменная x – от дуги окружности до прямой x=1–y. В результате получим

Данные примеры показывают, как важно правильно выбирать порядок интегрирования.

Пример 1.4. Изменить порядок интегрирования

а) ; б) .

Решение. а) Построим область интегрирования. На отрезке [0;1] для x переменная y изменяется от прямой y=0 до прямой y=x. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.8). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования

б) Построим область интегрирования. На отрезке [0;9/16] для y переменная x изменяется от прямой x=y до параболы ; на отрезке [9/16;3/4] – от прямой x=y до прямой x=3/4. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.9). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования,

Дата добавления: 2014-01-20 ; Просмотров: 4224 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Администратор
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Покажем на конкретных примерах:
1) Как определить пределы интегрирования в двойном интеграле;
2) Как поменять порядок интегрирования в двойном интеграле;
3) Как изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле

Пример 1. Определить пределы интегрирования интеграла

если область интегрирования S (рис.1) ограничена гиперболой $y^2-x^2=1" $ и двумя прямыми $x=2,x=-2"$ (имеется ввиду область содержащая начало координат)