Покажем на конкретных примерах:
1) Как определить пределы интегрирования в двойном интеграле;
2) Как поменять порядок интегрирования в двойном интеграле;
3) Как изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле
Пример 1. Определить пределы интегрирования интеграла
если область интегрирования S (рис.1) ограничена гиперболой $y^2-x^2=1" $ и двумя прямыми $x=2,x=-2"$ (имеется ввиду область содержащая начало координат)
Пример 2. Поменять порядок интегрирования
Пример 3. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
Для вычисления двойных интегралов имеется сервис решение двойных интегралов
1.3.1. Прямоугольная область интегрирования
При сведении двойных интегралов к повторным, основная трудность возникает при расстановке пределов во внутренних интегралах. Наиболее просто это сделать для прямоугольных областей (см. рис. 1.5).
Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл
.
Решение. Запишем двойной интеграл в виде повторного:
.
1.3.2. Произвольная область интегрирования
Для того, чтобы перейти от двойного интеграла к повторному следует:
1) построить область интегрирования;
2) расставить пределы в интегралах, при этом следует помнить, что пределы внешнего интеграла должны быть постоянными величинами (т.е. числами) независимо от того, по какой переменной вычисляется внешний интеграл.
Пример 1.3. Расставить пределы интегрирования в соответствующих повторных интегралах для двойного интеграла
, если а) 
б) 
Решение. а) Изобразим область интегрирования D (см. рис.1.6). Пусть интегрирование во внешнем интеграле производится по переменной x, а во внутреннем – по y. Расстановку пределов всегда нужно начинать с внешнего интеграла, в данном случае с переменной x. Из рисунка видно, что x изменяется от 0 до 1, при этом значения переменной y будут изменяться от значений на прямой y=x до значений на прямой y=2x. Таким образом, получаем
.
Пусть теперь интегрирование во внешнем интеграле производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае значения y будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда верхняя граница изменений значений переменной x будет состоять из двух участков x=y/2 и x=1. Это означает, что область интегрирования нужно разбить на две части прямой y=1. Тогда в первой области y изменяется от 0 до 1, а x от прямой x=y/2 до прямой x=y. Во второй области y изменяется от 1 до 2, а x – от прямой x=y/2 до прямой x=1. В результате получим
.
б) Построим область интегрирования D (см. рис.1.7). Пусть во внешнем интеграле интегрирование производится по x, а во внутреннем – по y. В этом случае при изменении x от –1 до 1 изменения переменной y сверху будут ограничены двумя линиями: окружностью и прямой. На отрезке [–1;0] y изменяется от y=0 до 
; на отрезке [0;1] переменная y изменяется от y=0 до y=1–x. Таким образом,
.
Пусть теперь во внешнем интеграле интегрирование производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае y будет изменяться от 0 до 1, а переменная x – от дуги окружности 
до прямой x=1–y. В результате получим
.
Данные примеры показывают, как важно правильно выбирать порядок интегрирования.
Пример 1.4. Изменить порядок интегрирования
а) 
; б) 
.
Решение. а) Построим область интегрирования. На отрезке [0;1] для x переменная y изменяется от прямой y=0 до прямой y=x. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.8). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования
.
б) Построим область интегрирования. На отрезке [0;9/16] для y переменная x изменяется от прямой x=y до параболы 
; на отрезке [9/16;3/4] – от прямой x=y до прямой x=3/4. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.9). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования,
.
Дата добавления: 2014-01-20 ; Просмотров: 4223 ; Нарушение авторских прав? ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Здравствуйте!
Как изменить порядок интегрирования в двойном интеграле? Мне нужно как можно проще и понятнее. Лучше на примере.
Спасибо!
Разберемся как можно изменить порядок интегрирования в двойном интеграле на конкретном примере. Так должно быть гораздо понятнее, чем изучать скучную теорию.
Рассмотрим следующий интеграл:
Решение.
Пределы интегрирования нам известны, поэтому можем найти границы области интегрирования, которую принято обозначать буквой D.
Итак, область интегрирования D:
Построим эти области на координатной плоскости: 
Область D располагается между прямыми х = 0 и х = 1 и ограничена сверху и снизу ветвями параболы 
. На рисунке эта область заштрихована.
Новые пределы интегрирования должны быть изменены так, чтобы внешний интеграл был от у, а внутренний — от х.
Рассмотрим область интегрирования D на рисунке.
Если ее спроецировать на ось Оу, то ее границами будут точки —2 и 2. Эти точки — пределы внешнего интегрирования.
Слева область D ограничена кривой . Но эту функцию нужно выразить относительно переменной х. Получим 
.
Справа область D ограничена прямой х = 1.
Запишем двойной интеграл с изменением порядка интегрирования:
Таким образом, самое главное в изменении порядка интегрирования — это правильно найти новые его пределы.
Уважаемый, ваше решение неверно в корне. Вы забыли проткнуть свой график. Он распадается не на один(!) интеграл, а на два. Пожалуйста, перепроверьте свое решение
Загрузка...
