Содержание
Определение
Равнобедренный треугольник – это треугольник, боковые стороны которого равны. Прямоугольный треугольник содержит в себе прямой угол. Значит равнобедренный прямоугольный треугольник – это прямоугольный треугольник, катеты которого равны.
Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета. Это следует из теоремы о соотношениях сторон и углов треугольника. Значит, в прямоугольном треугольнике только гипотенуза может быть основанием, а величина гипотенузы будет соответствовать длине основания.
Рис. 1. Равнобедренный прямоугольный треугольник
Свойства
Поговорим подробнее о свойствах и формулах. Не совсем ясно, как будут пролегать высоты в таком треугольнике, все привыкли пользоваться свойством, которое говорит о том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике такая высота всегда будет направлена из прямого угла к гипотенузе. А две другие высоты будут совпадать с катетами.
Рис. 2. Высота прямоугольного равнобедренного треугольника
Если к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника провести высоту, то она разделит треугольник на два, равных между собой, равнобедренных прямоугольных треугольника.
Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника выглядит немного более упрощенной:
Квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета. Это значительно упрощает решение.
Вообще, любые задачи, связанные с прямоугольными равнобедренными треугольниками решаются очень просто. Любого значения достаточно, чтобы определить все остальное. Значения любого из катетов достаточно, чтобы определить гипотенузу через упрощенную теорему Пифагора, а затем найти периметр и площадь прямоугольного равнобедренного треугольника.
Через гипотенузу можно найти катет через тригонометрическую функцию, так как все углы прямоугольного равнобедренного треугольника заранее известны: один угол 90 градусов и два по 45.
Рис. 3. Углы прямоугольного равнобедренного треугольника
Разберем подробно, почему известны все углы. В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам. Это следует из общей суммы углов в треугольнике, которая всегда равна 180 градусам.
При этом углы при основании равнобедренного треугольника, а в нашем случае это всегда гипотенуза, всегда равны. Значит, чтобы найти каждый из острых углов при гипотенузе, нужно их сумму, т.е. 90 градусов, разделить пополам. Получается, что каждый из углов при гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 45 градусам.
Можно рассмотреть это свойство и с другой стороны: если сумма двух углов треугольника равняется 90 градусам и эти углы равны между собой, то этот треугольник является равнобедренным и прямоугольным.
Из этого же свойства проистекает равенство синусов и косинусов всех острых углов между собой, а так же равенство тангенсов и котангенсов.
То есть, синус любого острого угла треугольника равен косинусу любого острого угла треугольника и равен $$<sqrt<2>over2>$$. Тангенс любого острого угла треугольника равен котангенсу любого острого угла треугольника и равен 1.
Что мы узнали?
Мы подробно поговорили о всех взаимосвязях свойств прямоугольного и равнобедренного треугольника. А также о том, как эти связи проявляются в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Разобрали в подробностях, почему любые задачи на нахождение параметров прямоугольного равнобедренного треугольника легко решаются и выделили основную и единственную проблему в решениях таких задач: трудность визуального восприятия.
Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:
α = β = 45 ∘ = π 4 , <displaystyle alpha =eta =45^<circ >=<frac <pi ><4>>!,,>
третий внутренний угол — прямой:
γ = 180 ∘ − 2 α = 90 ∘ = π 2 , <displaystyle gamma =180^<circ >-2alpha =90^<circ >=<frac <pi ><2>>!,,>
Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.
Каждая боковая сторона равна:
a = b = c 2 2 , <displaystyle a=b=<frac <2>>><2>>!,,>
а основание равно:
c = a 2 , <displaystyle c=a<sqrt <2>>!,,>
стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.
Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:
h c = a 2 2 = c 2 = R , <displaystyle h_
Содержание
Периметр [ править | править код ]
Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен
P = a + b + c = a ( 2 + 2 ) . <displaystyle P=a+b+c=a(2+<sqrt <2>>)!,.>
Площадь [ править | править код ]
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна
S = a 2 2 = c 2 4 . <displaystyle S=<frac <2>><2>>=<frac <2>><4>>!,.>
Также площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить при помощи формулы Герона:
S = p ( p − a ) 2 ( p − a 2 ) , <displaystyle S=<sqrt <2>(p-a<sqrt <2>>)>>!,,>
Где p — полупериметр равнобедренного прямоугольного треугольника:
p = P 2 = a ( 1 + 2 2 ) . <displaystyle p=<frac
<2>>=aleft(1+<frac <sqrt <2>><2>>
ight)!,.>
Общие характеристики [ править | править код ]
Описанная и вписанная окружности [ править | править код ]
Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:
Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.
Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:
d 2 = R ( R − 2 r ) = a 2 2 ( 3 − 2 2 ) <displaystyle d^<2>=R(R-2r)=<frac <2>><2>>left(3-2<sqrt <2>>
ight)!,> 
ight)=a<sqrt <<frac <1><2>>left(3-2<sqrt <2>>
ight)>>approx 0,2928932,a!,.>
Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами ( d = r <displaystyle d=r,>
α = β = a r c t g 4 − 2 2 8 2 − 11 ≈ 72 , 968751 ∘ , <displaystyle alpha =eta =operatorname <frac <4-<sqrt <2>>><<sqrt <2>><sqrt <8<sqrt <2>>-11>>>>approx 72,968751^<circ >!,,>
Покрытие евклидовой плоскости [ править | править код ]
Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника — треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).
Полиформы в головоломках [ править | править код ]
Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, — это поляболы.
Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.
В разработке представлены определения, признаки и свойства равнобедренного, равностороннего и прямоугольного треугольников.
Просмотр содержимого документа
«Равнобедренный, равносторонний и прямоугольный треугольники.»
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Равные стороны называются боковыми, третья сторона – основанием.
ТЕОРЕМА: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА: Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный.
ТЕОРЕМА: В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.
В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.
В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к боковым сторонам, равны.
Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны равны.
Свойства равностороннего треугольника
У равностороннего треугольника все углы равны 60°.
В равностороннем треугольнике медианы, проведённые из всех вершин являются биссектрисами и высотами.
Длины высот, медиан и биссектрис, проведённых к каждой из сторон равностороннего треугольника, равны.
(рисунок сверху)
Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром равностороннего (правильного) треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).
Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности (рисунок сверху).
Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности (рисунок сверху).
Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе:
Радиус описанной около равностороннего треугольника со стороной а окружности вычисляется по формуле:
Радиус вписанной в равносторонний треугольник со стороной а окружности вычисляется по формуле:
Высота равностороннего треугольника со стороной а окружности вычисляется по формуле:
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формулам (а – сторона треугольника, 
– высота, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности):
Прямоугольным называется треугольник, у которого один угол прямой (равен 90°).
Стороны, составляющие прямой угол называются катетами, третья сторона называется гипотенузой.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА: Если гипотенуза и один острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и одному острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
ТЕОРЕМА: Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
ТЕОРЕМА: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90° (рисунок сверху).
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (рисунок сверху).
В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30° равен половине гипотенузы.
Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности или радиус описанной окружности, прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности (AO – медиана)
Длина медианы, проведённой из вершины прямого угла (к гипотенузе), равна половине гипотенузы.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу (h – высота, проведённая к гипотенузе, а – гипотенуза, b и с — катеты)
Загрузка...
