Разложение cos в ряд тейлора

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.

Определение ряда Тейлора.

Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.

Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x — a типа:

Свойства ряда Тейлора.

Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:

У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.

Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяют так:

Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.

Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:

Ряды Маклорена некоторых функций.

1. Экспонента: ,

Онлайн калькулятор для разложения функции в ряд Тейлора.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Данный калькулятор предназначен для разложения функции в ряд Тейлора онлайн.

Разложение Тейлора задается единственной формулой для функций, которые раскладывается в степенной ряд по степеням (x-a) в определенном интервале. Разложение ряда Тейлора по степеням x (при a=0) является частным случаем и называется разложением Маклорена.

Калькулятор поможет разложить функцию в ряд Тейлора онлайн. Для того чтобы получить решение, необходимо ввести соответствующие значения в ячейки: вид функции, значение x и степень, до которой нужно разложить ряд.

• : x^a

Если функция (fleft( x
ight)) имеет непрерывные производные вплоть до (left(
ight))-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора : [ ^infty <>left( a
ight)frac <<<<left(
ight)>^n>>><>> > =
ight) + frac <
ight)>^2>>><<2!>> + ldots > + >left( a
ight) <
ight)>^n>>><> + ,> ] где () − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением [ <=»» frac <<
ight)>>left( xi
ight) <
ight)>^>>> <
ight)!>>,>;; рядом Тейлора , представляющим разложение функции (fleft( x
ight)) в точке (a.)

(cosh x =»» sumlimits_^infty >>> < <2n>
ight)!>>
ormalsize> =»» 1 + largefrac<<>><<2!>>
ormalsize + largefrac<<>><<4!>>
ormalsize + largefrac<<>><<6!>>
ormalsize + ldots )

Пусть (fleft( x
ight) =»»
ight)^mu >,) где (mu) − действительное число, и (x
e -1.) Производные будут равны [f»left( x
ight) = mu <1 + x">
ight)^<mu — 1>>,] [f»left( x
ight) = mu left( <mu — 1>
ight) <left( <1 + x>
ight)^<mu — 2>>,] [f»’left( x
ight) = mu left( <mu — 1>
ight)left( <mu — 2>
ight) <left( <1 + x>
ight)^<mu — 3>>,] [ <>left( x
ight) > = <mu left( <mu — 1>
ight)left( <mu — 2>
ight) cdots left( <mu — n + 1>
ight) <left( <1 + x>
ight)^<mu — n>>.> ] При (x = 0,) соответственно, получаем [ ;; <1 + x>
ight)^mu > > =»» <1 + mu x + frac<
ight)>><<2!>> + frac <
ight)left(
ight)>><<3!>> + ldots > +
ight) cdots left(
ight)>><> + ldots > ] Полученное выражение называется биномиальным рядом .

>