Содержание
Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.
Определение ряда Тейлора.
Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:
Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.
Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x — a типа:
Свойства ряда Тейлора.
Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:
У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.
Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяют так:
Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.
Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:
Ряды Маклорена некоторых функций.
1. Экспонента: ,
Ряд Тейлора функции одной переменной
$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+frac<2!>+cdots+frac(a)(x-a)^><(n-1)!>+R_n$ где $R_n$, остаточный член после n слагаемых, может быть записан в одной из следующих форм:
Величина $xi$, которая может отличаться для двух форм, лежит в промежутке между $a$ и $x$. Результат справедлив, если $f(x)$ имеет непрерывные производные до порядка $n$ как минимум.
Если $lim_ R_n=0$, полученный бесконечный ряд называется рядом Тейлора функции $f(x)$ в окрестности $x = a$. Если $a = 0$, такое разложение часто называют рядом Маклорена. Эти ряды, часто называемые степенными рядами, обычно сходятся для всех значений $x$ из некоторого интервала, который называется интервалом сходимости, и расходятся для всех $x$ вне этого интервала.
Понятие ряда Тейлора.
Если функция (f(x)) определена в некоторой окрестности точки (x_<0>) и имеет в точке (x_<0>) производные всех порядков, то степенной ряд
$$
f(x_<0>) + sum_^<infty>frac(x_<0>)>(x-x_<0>)^
$$
называется рядом Тейлора функции (f) в точке (x_<0>).
Пусть функция (f) регулярна в точке (x_<0>), то есть представляется в некоторой окрестности точки (x_<0>) сходящимся к этой функции степенным рядом
$$
f(x) = sum_
$$
Тогда по теореме, доказанной здесь, функция (f) бесконечно дифференцируема в окрестности точки (x_<0>), причем коэффициенты ряда eqref
$$
a_ <0>= f(x_<0>),quad a_
$$
Таким образом, степенной ряд для функции (f(x)), регулярной в данной точке (a), совпадает с рядом Тейлора функции (f) в точке (a).
Если известно, что функция (f(x)) бесконечно дифференцируема в точке (a) (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора eqref
eq x_<0>) к функции (f(x)).
Рассмотрим функцию (f(x) = e^<-1/x^<2>>), (x
eq 0), (f(0) = 0). Эта функция определена на (R),
$$
f'(x) = frac<2><3>>e^<-1/x^<2>>, f″(x) = left(frac<4><6>>-frac<6><4>>
ight)e^<-1/x^<2>>quadmbox<при> x
eq 0,
onumber
$$
откуда с помощью индукции легко показать, что
$$
f^<(n)>(x) = e^<-1/x^<2>> Q_ <3n>left(frac<1>
ight) mbox<при> x
eq 0,
onumber
$$
где (Q_<3n>(t)) — многочлен степени (3n) от (t). Воспользуемся тем, что (displaystylelim_
$$
f^<(k)>(0) = 0 mbox<для любого> k in mathbb
$$
Утверждение eqref
$$
f^<(n + 1)>(0) = lim_
ight) e^<-1/x^<2>> = 0.
onumber
$$
Таким образом, по индукции доказано равенство eqref
Так как (e^<-1/x^<2>>
eq 0) при (x
eq 0), то сумма ряда Тейлора для функции (f) не совпадает с (f(x)) при (x
eq 0). Иначе говоря, эту функцию нельзя представить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точки (x_ <0>= 0).
Причина этого явления становится понятной, если функцию (f) рассматривать в комплексной плоскости. В самом деле, функция (f(z) = e^<-1/z^<2>>) не является непрерывной в точке (z = 0), так как (f(x) = e^<-1/x^<2>>
ightarrow 0) при (x
ightarrow 0), a (f(iy) = e^<1/y^<2>>
ightarrow +infty) при (y
ightarrow 0).
Остаточный член формулы Тейлора.
Пусть функция (f(x)) бесконечно дифференцируема в точке (x_<0>). Тогда ей можно поставить в соответствие ряд eqref
$$
S_
$$
$$
r_
$$
и назовем (r_
$$
lim_
$$
то согласно определению сходимости ряда ряд eqref
$$
f(x) = sum_
$$
Если функции (f(x)), (f'(x)), …, (f^<(n + 1)>(x)) непрерывны на интервале (Delta = (x_<0>-delta, x_ <0>+ delta)), где (delta > 0), то для любого (x in Delta) остаточный член формулы Тейлора для функции (f) в точке (x_<0>) можно представить:
(circ) Формула eqref
$$
f(x)-f(x_<0>) = sum_^
$$
Воспользуемся равенством (displaystyleintlimits_<0>>^
$$
intlimits_
onumber
$$
Таким образом,
$$
f(x)-f(x_<0>) = f'(x_<0>)(x-x_<0>) + intlimits_
onumber
$$
то есть формула eqref
$$
f(x)-f(x_<0>) = sum_^
$$
Преобразуем интеграл в правой части формулы eqref
$$
frac<1> <(n-1)!>intlimits_
ight)
ight|_
onumber
$$
Отсюда следует, что равенство eqref
Если функция (f) и все ее производные ограничены в совокупности на интервале (Delta = (x_<0>-delta, x_ <0>+ delta)), то есть
$$
exists M > 0: forall x in Delta
ightarrow |f^<(n)>(x)| leq M, n = 0,1,2,ldots,label
$$
то функция (f) представляется сходящимся к ней в каждой точке интервала (Delta) рядом Тейлора eqref
(circ) Пусть (x in (x_<0>-delta, x_ <0>+ delta)). Тогда, используя формулу eqref
$$
|r_
$$
Так как (displaystylelim_
Теорема 2 остается в силе, если условие eqref
$$
exists M > 0 exists C > 0: forall x in Delta
ightarrow |f^<(n)>(x)| leq MC^
onumber
$$
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки (x_ <0>= 0), то есть в ряд вида
$$
f(x) = sum_
$$
который называют рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты (displaystylefrac(0)>) разложения eqref
Разложение показательной и гиперболической функций в ряд Тейлора.
Пусть (f(x) = e^
ho,
ho)), где (
ho > 0), выполняются неравенства
$$
0 0), то есть радиус сходимости этого ряда (R = +infty). Так как для функции (f(x) = e^
$$
e^
$$
Используя разложение eqref
$$
operatorname
onumber
$$
находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и гиперболического синуса:
$$
operatorname
$$
$$
operatorname
$$
Радиус сходимости каждого из рядов eqref
Разложение тригонометрических функций в ряд Тейлора.
Пусть (f(x) = sin x). Тогда (|f(x)| leq 1) и (|f^<(n)>(x)| leq 1) для всех (n in mathbb
Если (f(x) = sin x), то (f(0) = 0), (f^<(2n)>(0) = 0), (f'(0) = 1), (f^<(2n + 1)>(0) = (-1)^
$$
sin x = sum_<substack
$$
Пусть (f(x) = cos x). Тогда (|f(x)| leq 1), (|f^<(n)>(x)| leq 1) для всех (n) и для всех (x in R), (f(0) = 1), (f'(0) = 0), (f^<(2n)>(0) = (-1)^
$$
cos x = sum_
$$
Радиус сходимости каждого из рядов eqref
Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора.
(circ) Оценим остаточный член (r_
$$
r_
$$
Если (f(x) = ln(x + 1)), то по формуле eqref
$$
r_
$$
Пусть (|x| 1), то (displaystylelim_
ightarrow 0) при (n
ightarrow infty) для каждого (x in (-1, 1)), то есть справедливо равенство eqref
eq 0) и (alpha
otin mathbb
В заключение заметим, что при разложении функций в ряд Тейлора обычно используют формулы eqref
Разложить в ряд Маклорена функцию (f(x)) и найти радиус сходимости (R) ряда, если:
- ( riangle) Используя формулу eqref
, получаем ряд
$$
frac<1><1 + x^<2>> = sum_^ <infty>(-1)^ x^<2n>,label
$$
радиус сходимости которого (R = 1). - Из равенства eqref
следует, что (displaystylefrac<1><sqrt<1 + x^<2>>> = sum_ ^ <infty>C_<-1/2>^ x^<2n>), где
$$
C_<-1/2>^= frac<displaystyleleft(-frac<1><2>
ight)left(-frac<1><2>-1
ight)ldotsleft(-frac<1><2>-(n-1)
ight)>= frac<(-1)^1cdot3ldots(2n-1)><2^ n!> = frac<(-1)^ (2n-1)!!><2^ n!>.
onumber
$$
Следовательно,
$$
frac<1><sqrt<1 + x^<2>>> = 1 + sum_^ <infty>frac<(-1)^(2n-1)!!><2^ n!>x^<2n>, R = 1.label
$$ - Так как (f(x) = displaystylefrac<1>
+ frac<1>= frac<1><displaystyle2left(1 + frac <2>
ight)>-frac<1><displaystyle3left(1-frac<3>
ight)>), то, применяя формулы eqrefи eqref , получаем ряд
$$
frac<2x-1><2>-x-6> = sum_^ <infty>left(frac<(-1)^ ><2^ >-frac<1><3^ >
ight)x^, R = 2. lacktriangle 2>
onumber
$$
Разложить в ряд Маклорена функции
$$
operatorname
onumber
$$
$$
operatorname
onumber
$$
$$
ln(x + sqrt<1 + x^<2>>),
onumber
$$
и найти радиусы сходимости (R) рядов.
- ( riangle) Почленно интегрируя ряд eqref
, получаем
$$
operatornamex = intlimits_0^x frac - <1 + t^<2>> = sum_
^ <infty>(-1)^ frac<2n + 1>><2n + 1>,quad R = 1.
onumber
$$2n> - <1 + t^<2>> = sum_
- Заменяя в формуле eqref
(x^<2>) на (-x^<2>), получаем
$$
frac<1><sqrt<1-x^<2>>> = 1 + sum_^ <infty>frac<(2n-1)!!><2^n!>x^<2n>,quad R = 1.
onumber
$$
откуда следует, что
$$
operatornamex = intlimits_0^x frac - <1-t^<2>> = x + sum_^ <infty>frac<(2n-1)!!><2^
n!(2n + 1)>x^<2n + 1>, R = 1.
onumber
$$ - Почленно интегрируя ряд eqref
, получаем
$$
ln(x + sqrt<1 + x^<2>>) = intlimits_0^x frac- <1 + t^<2>> = x + sum_^ <infty>frac<(-1)^
(2n-1)!!><2^ n!(2n + 1)>x^<2n + 1>, R = 1. lacktriangle
onumber
$$ - <1 + t^<2>> = x + sum_^ <infty>frac<(-1)^
Разложить в ряд Тейлора в точке (x_ <0>= 2) функцию (f(x) = ln(4 + 3x-x^<2>)).
( riangle) Так как (4 + 3x-x^ <2>= -(x-4)(x + 1)), то, полагая (t = x-2), получаем
$$
f(x) = ln(4-x)(x + 1) = g(t) = ln(2-t)(3 + t) = ln 6 + lnleft(1-frac
ight) + lnleft(1 + frac
ight).
onumber
$$
Используя формулы eqref
$$
g(t) = ln 6-sum_^ <infty>frac
Элементарные функции комплексного переменного.
Используя равенства eqref
$$
frac
$$
откуда следует, что
$$
e^
$$
Полагая в формуле eqref
$$
e^<1>>e^<2>> = e^2>1> <1>+ z_<2>>.label
$$
Пусть (z = x + iy), где (x in R), (y in R). Тогда из равенства eqref
$$
e^
$$
Из формулы eqref
$$
e^
onumber
$$
то есть (e^
eq 0) уравнение
$$
e^
$$
имеет бесконечное множество решений вида (w + i2pi n), где (w) — одно из решений уравнения eqref
Если (w = u + iv), то (z = e^
$$
|z| = e^,quad u = ln |z|,quad v = arg z.
onumber
$$
Пусть (varphi) — какое-нибудь значение аргумента числа (z). Тогда
$$
v = varphi + 2pi n, n in Z.
onumber
$$
Таким образом, все решения уравнения eqref
$$
operatorname
$$
где (varphi) — одно из значений аргумента числа (z) ((z
eq 0)), (n in Z).
По заданному значению (z) значение (w) из уравнения eqref
Разложить в степенной ряд в окрестности точки (z = 0) функцию (f(z) = e^
( riangle) Используя формулы eqref
$$
f(z) = e^
ight) = frac<1><2i>(e^-e^).
onumber
$$
Так как (1 + i = sqrt<2>e^), (1-i = sqrt<2>e^<-ipi/4>), то по формуле eqref
$$
f(z) = sum_
ight)z^
onumber
$$
откуда в силу второго из равенств eqref
$$
e^
onumber
$$
Радиус сходимости ряда (R = +infty). (lacktriangle)