Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.
| Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π. | Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π. |
| Четные и нечетные функции. | Разложение в ряд Фурье по косинусам. |
| Разложение в ряд Фурье по синусам. | Ряд Фурье на полупериоде. |
| Ряд Фурье для произвольного интервала. | Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных на интервале L≠2π. |
Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.
Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны — это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.
Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):
Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx
(1)
Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:
Коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,
Другой способ записи ряда — использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)
Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) или c1sin(x+α1) называется первой или основной гармоникой, (a2cos2x+b2sin2x) или c2sin(2x+α2) называется второй гармоникой и так далее.
Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.
Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.
Разложение непериодических функций.
Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.
Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .
Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.
Четные и нечетные функции.
Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.
Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.
Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.
Разложение в ряд Фурье по косинусам.
Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
Разложение в ряд Фурье по синусам.
Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).
где коэффициенты ряда Фурье,
Ряд Фурье на полупериоде.
Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.
Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье ao и an
Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b
Ряд Фурье для произвольного интервала.
Разложение периодической функции с периодом L.
Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.
Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид
Где коэффициенты ряда Фурье,
Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования — от -L/2 до L/2 вместо — π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид
где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,
(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)
Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.
Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.
Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид
Так как функция заданана отрезке 
,то ее можно доопределить на отрезок
четным или нечетным образом.
Если функция доопределена четным образом, то она, как четная функция может быть разложена по формулам для четной функции
, 
, 
.
= 
(в точках непрерывности функции).
Это – разложение в ряд Фурье по косинусам кратных дуг.
Если функция доопределена нечетным образом, то она, как нечетная функция может быть разложена по формулам для нечетной функции
, 
,.
.
= 
(в точках непрерывности функции).
Это – разложение в ряд Фурье по синусам кратных дуг.
Одну и ту же функцию, заданную на отрезке ,можно разложить и по синусам, и по косинусам кратных дуг.
Пример. Разложить по косинусам и синусам кратных дуг функцию 
, заданную на отрезке 
.
Так как мы доопределяем функцию на отрезок при разложении по косинусам и синусам кратных дуг, то 
.
Разложим функцию по косинусам кратных дуг.
, 
, .
=
=1. 
Разложим функцию по синусам кратных дуг.
, ,.
.
=
= 
,
(теорема Дирихле).
| | | следующая лекция ==> | |
| Свойства четных и нечетных функций | | | Комплексные числа, 3 формы записи, основные операции |
Дата добавления: 2014-01-06 ; Просмотров: 5307 ; Нарушение авторских прав? ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Разложение некоторой функции f ( x ) в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [- k , k ] имеет вид:
В качестве примера, разложим в ряд Фурье функцию f ( x ) = x на отрезке [ -1 , 1 ]. В этом случае коэффициенты a n и b n определяются по формулам:
Таким образом, разложение функции f ( x ) = x в ряд Фурье на отрезке [ -1 , 1 ] имеет вид:
На рисунке ниже приведено два графика: f ( x ) = x (желтым цветом) и , (синим цветом) для которого мы взяли порядок разложения функции в ряд Фурье равным 25.
Стоит отметить, что в приведенном выше примере, коэффициенты a n равны нулю не случайно. Дело в том, что функция f ( x ) = x является нечетной на интервале [ -1 , 1 ]. Функция — напротив является чётной. Произведение чётной функции на нечетную является нечётной функцией, поэтому согласно свойствам , интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.
В случае, если бы мы раскладывали в ряд Фурье на симметричном интервале какую-нибудь чётную функцию, например x 2 , коэффициенты b n равнялись бы нулю, поскольку в этом случае, подинтегральное выражение — являлось бы нечётной функцией.
Исходя из приведённых выше рассуждений можно сделать следующие выводы:
- Разложение в ряд Фурье нечётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с синусами.
- Разложение в ряд Фурье чётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с косинусами.
- Если нам необходимо получить разложение в ряд Фурье некоторой произвольной функции на интервале [ 0 , b ] , то у нас есть две возможности. Мы можем продолжить эту функцию на интервал [ -b , 0 ] нечётным образом и тогда в разложении получим только синусы. Или же мы можем продолжить её в указанный интервал чётным образом и тогда получим в разложении только косинусы.
Стоит также отметить, что используя приведённые выше формулы и соответствующую замену переменной, можно получить формулы для коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на произвольном интервале [ p , q ]:
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha раскладывает произвольную функцию в ряд Фурье на интервале [-π π]. В принципе, это не накладывает существенных ограничений, поскольку, используя соответствующую замену переменной, мы можем получить разложение на произвольном интервале [ p , q ].
Загрузка...
