Разложить функцию в ряд лорана в кольце

Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции .

Здесь z = 2; функция теряет аналитичность в точках

z1 = 0, z2 = -4. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в z (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:

1. | z – 2| 6. В каждой из этих областей разложение будет таким:

1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. — таково разложение f(z) на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них. , где | z – 2| 4. . Первый множитель уже представлен в виде суммы по степеням | z + 2|, работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции .

1. В первом кольце 0 4 получаем ,,,.

Среди множества рядов, близких к степенным по своему строению и свойствам, являются ряды, расположенные по целым отрицательным степеням z – z:

Сделаем замену в (2.103), получим:

Как известно радиус сходимости полученного ряда есть число R (2.90): если R = 0, то ряд (2.104) сходится в точке t = 0; если 0 Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Читайте также  Портал госуслуг москвы регистрация личный кабинет
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector