А.В. Колодин.
Прежде, чем представить работу «Формула числа» на суд читателей, я решил проверить, как согласуются полученные мною результаты с общепринятыми понятиями и константами высшей математики.
Как нельзя лучше к моей работе подходит известное заявление Л. Кронекера, сказанное им в 1886 году на 59 съезде учёных и исследователей в Берлине: «Целые числа сотворил Бог, а все прочее – дело рук человеческих».
Он был убеждён, что основой математики должно быть число, а основой всех чисел – натуральное число, а потому в математике не существует ничего, кроме того, что может быть представлено в виде конечного ряда положительных целых чисел.
Таких же взглядов придерживаюсь и я.
Эта работа я посвящаю Леонарду Эйлеру, его числу ℮, его константе и тому, что получается из числа ℮.
Материал из Википедии — свободной энциклопедии.
℮ — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число ℮ называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «℮».
Число ℮ играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.
В экономическом смысле число ℮ означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % годовых и максимально частой капитализации процентов.
Число ℮ может быть определено несколькими способами.
(второй замечательный предел).
Постоянная Э́йлера — Маскеро́ни или постоянная Эйлера — математическая константа, определяемая как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:
Константа введена в 1735 году Леонардом Эйлером, он же предложил для неё обозначение C, которое до сих пор иногда применяется. Итальянский математик Лоренцо Маскерони в 1790 году вычислил 32 знака константы и предложил современное обозначение 
(греческая буква «гамма»).
≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…
А что же сам Леонард Эйлер, Академик Петербургской Академии наук?
Откроем книгу Л. Эйлера «Введение в анализ бесконечных», том I, §122 и дадим слово автору:
«Так как для построения логарифмов можно принять какое угодно основание a, то его можно выбрать так, чтобы k = 1.
Пусть следовательно k = 1, тогда из найденного выше (§116) ряда
a = 1 + 1/1 +1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) и т.д.; если его члены обратить в десятичные дроби и действительно сложить, то они дадут для a значение 2,7182818284590045 верное вплоть до последнего знака.
Логарифмы, построенные на этом основании, обычно называют натуральными или гиперболическими, ибо квадратура гиперболы может быть выражена посредством логарифмом этого ряда.
Будем, ради краткости вместо числа 2,7182818284590045 и т.д. писать постоянно букву ℮, которая и будет означать основание натуральных или гиперболических логарифмов, ему соответствует k = 1: эта буква ℮ будет выражать сумму ряда 1 + 1/1 +1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) и т.д. до бесконечности»…
Расчёты будем проводить в табличной форме.
N – натуральные целые число, от 0 до 100: 0,1,2, 3, 4 и т.д.
∑R — сумма членов гармонического ряда: 1/1 + ½ +1/3 + ¼ +…+ 1/N.
E – фактическое число ℮, функция от значения числа N.
Постоянная Эйлера как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа. Определение цепной дроби. Цепная дробь, равноценная гармоническому ряду. Цепные дроби логарифмической функции, установленные Ламбертом.
| Рубрика | Математика |
| Предмет | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Прислал(а) | Шмойлов Владимир Ильич, Кириченко Геннадий Анатольевич, Лукьянов |
| Дата добавления | 03.03.2018 |
| Размер файла | 427,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Подобные документы
Первая дробь, с которой познакомились люди в Египте. Числитель и знаменатель дроби. Правильная и неправильная дробь. Смешанное число. Приведение к общему знаменателю. Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби. Умножение и деление дробей.
презентация [48,9 K], добавлен 11.10.2011
Теоретико-методологические основы формирования математического понятия дроби на уроках математики. Процесс формирования математических понятий и методика их введения. Практическое исследование введения и формирования математического понятия дроби.
дипломная работа [161,3 K], добавлен 23.02.2009
Определение числа гармоник разложения функций в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии. Построение амплитудного и фазового спектров функции, графика суммы ряда. Расчет среднеквадратичной ошибки между исходной функцией и частичной суммой Фурье.
контрольная работа [348,5 K], добавлен 13.12.2011
Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.
курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014
На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Необходимость в дробях возникла на ранней ступени развития человечества. Виды дробей. Запись дробей в Египте, Вавилоне. Римская система дробей. Дроби на Руси — "ломаные числа".
презентация [1022,3 K], добавлен 21.01.2011
История арифметики остатков. Понятие остатка, наибольшего общего делителя, расширенного алгоритма Евклида и применение его для решения линейных диофантовых уравнений. Алгебраический подход к делимости в кольцах и разложение чисел в цепные дроби.
дипломная работа [466,7 K], добавлен 23.08.2009
Обозначение десятичной дроби в разное время. Использование десятичной системы мер в Древнем Китае. Запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и правила действия с ними. Симон Стевин как фландрский учений, изобретатель десятичных дробей.
презентация [169,0 K], добавлен 22.04.2010
Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015
Изобретение Леонардом Эйлером геометрической схемы, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Изучение частного случая кругов Эйлера — диаграммы Эйлера—Венна, изображающей все 2^n комбинаций n свойств (конечную булеву алгебру).
презентация [595,0 K], добавлен 16.02.2015
Число как основное понятие математики. Натуральные числа. Простые числа Мерсенна, совершенные числа. Рациональные числа. Дробные числа. Дроби в Древнем Египте, Древнем Риме. Отрицательные числа. Комплексные, векторные, матричные, трансфинитные числа.
реферат [104,5 K], добавлен 12.03.2004
- ЖАНРЫ 359
- АВТОРЫ 256 106
- КНИГИ 586 436
- СЕРИИ 21 771
- ПОЛЬЗОВАТЕЛИ 542 356
Постоянная е — трансцендентное число, то есть его нельзя получить, решая алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами. Для доказательства трансцендентности какого-либо числа в первую очередь надо проверить его на иррациональность (число называется иррациональным, когда его нельзя выразить в виде соотношения двух целых чисел). Это совсем не простая задача, и Эйлеру это не удалось. Тем не менее он подошел довольно близко к правильному решению, найдя следующую непрерывную дробь:
Получив доказательство того, что эта дробь бесконечна, он показал:
является иррациональным числом. Наконец, в 1873 году Шарль Эрмит (1822-1901) доказал трансцендентность числа е.
Помимо полученного Эйлером, часто встречаются и такие записи числа е в виде дроби:
В последнее время в области теории чисел наблюдается возрастание интереса к вопросу о нормальности постоянных. Является ли е нормальным числом? В этом случае "нормальность" означает, что цифры в записи числа е сохраняют статистическое равновесие: если взять произвольное число, или пару чисел, или тройку и так далее, то вероятность того, что они появятся в записи числа е, всегда одна и та же.
То есть существуют нормальные и анормальные постоянные, но е кажется нормальным числом. Так или иначе, это всего лишь гипотеза, которую до сих пор никому не удалось доказать.
Арки колледжа святой Терезы (вверху) архитектора Антонио Гауди в Барселоне и Арка в Сент- Луисе (в середине) — примеры перевернутой традиционной цепной линии, образованной подвесными тросами (внизу). Формула этой линии содержит число е.
МНЕМОНИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ С ЧИСЛОМ у
Существует математический вид спорта, который состоит в том, чтобы произнести наибольшее количество знаков после нуля какой-либо константы. Поскольку заучивать их, просто напрягая память, может быть скучно, для этого используются специальные фразы или стихи (mnemonics по-английски). Количество букв в каждом слове соответствует числовой последовательности, которую надо запомнить.
Например, название стихотворения "С десятью пушками по стороне" испанского поэта Хосе де Эспронседа можно соотнести с последовательностью 17727.
Это гораздо проще запомнить, чем само число, поскольку у слов есть смысл. Стало очень модно заучивать цифры числа к. Фразы для запоминания знаков числа е встречаются реже, но они тоже очень любопытны. В интернете можно найти такой вариант:
We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: ‘!’ when first it was found, yes, loudly ‘!’. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!
[ 1 Мы представляем мнемоническое упражнение на запоминание такой восхитительной постоянной, что Эйлер воскликнул: ‘!’, когда впервые открыл ее, да. громко воскликнул ‘!’. Мои студенты, возможно, вычислят е. используют свои силы или ряды Тэйлора, простую формулу сложения, ясную, четкую, элегантную! (В данном случае подсчет действителен только для фразы на английском. — Примеч. ред.)]
Знак"!"обозначает ноль. Если мы сосчитаем количество букв в словах, то получим следующую последовательность:
271828182845904523 536028 747135 266249 7757,
которая соответствует первым 40 цифрам числа е.
ПОСТОЯННАЯ ЭЙЛЕРА — МАСКЕРОНИ
Существуют три математические константы, которые резко выделяются на общем фоне и так или иначе связаны с Эйлером. Первая — это знаменитое число я, вторая — е. Третья обозначается греческой буквой у, и хотя Эйлер выделил ее уже в 1734 году, через три года после нахождения числа е, он делит это открытие с итальянским математиком Лоренцо Маскерони, так что у называют постоянной Эйлера —Маскерони. По мнению некоторых специалистов, это не совсем справедливо, поскольку самая большая заслуга Маскерони состояла в том, что в 1790 году он вычислил 32 ее знака, сделав при этом три ошибки: в 19-м, 20-м и 21-м знаках.
γ — сугубо арифметическая константа. Если мы рассмотрим древний гармонический ряд
Σn=1 ∞ 1/n = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/4 + . + 1/n + .
то увидим, что он расходится, то есть предел его суммы стремится к ∞ (первое строгое доказательство этого приписывается Якобу Бернулли).
Эйлеру пришла в голову мысль сравнить возрастание этого расходящегося ряда с In n. Если провести вычитание
шаг за шагом, мы получим:
1 + 1/2 — ln2 = 0,8068528.
1 + 1/2 + 1/3 — ln3 = 0,734721.
1 + 1/2 + 1/3 + 184 — In4 = 0,6970389.
Эта разность стабилизируется и в пределе дает постоянную величину:
γ = limn→∞[Σk=1 n 1/k — ln n] = 0,57721566.
Целью Эйлера было найти способ описать степень роста гармонического ряда, и ученый пришел к заключению, что он логарифмический. Он обозначил эту постоянную заглавной буквой С, а знак греческой буквы γ, видимо, ввел Маскерони (1790). В 1736 году Эйлер высчитал 19 цифр этой постоянной, используя собственную формулу, так называемые числа Бернулли, Bn; если бы он попытался классическим путем сложить значения гармонического ряда и вычесть логарифм, то потерпел бы поражение, даже несмотря на то что был гением в вычислениях: ряд сходится слишком медленно.
Немецкий ученый Вейерштрасс открыл, что определение Г(х), предложенное Эйлером, дает производную
что позволяет установить неожиданную связь между гамма- функцией и постоянной Эйлера — Маскерони.
О константе γ почти ничего неизвестно, мы даже не знаем, рациональное это число или иррациональное и, разумеется, трансцендентное ли оно. Нам известно только, что если оно окажется рациональным — а большинство специалистов в это не верят, — то его знаменатель будет состоять из 244 663 цифр десятичной системы исчисления. Если воспроизвести это число, оно займет почти всю эту книгу.
Постоянная γ часто используется в анализе (например, в так называемых функциях Бесселя), а также в квантовой механике, особенно в перенормировке диаграмм Фейнмана, имеющих фундаментальное значение в электродинамике.
Однако не нужно далеко ходить, чтобы обнаружить γ. Если мы начнем собирать наклейки, прилагающиеся к жвачкам или шоколадкам, то наше хобби будет совершенно эйлеровским. Если в коллекции всего n наклеек, нам придется купить примерно N товаров, чтобы собрать их все:
N = n(1 + 1/2 + 1/3 + . + 1/n).
Первым призванием Лоренцо Маске- рони, итальянского священника и математика (1750-1800), была поэзия.
Он не был горячим сторонником ни одной из существовавших тогда политических партий, но в общем его можно было охарактеризовать как франкофила. Поэтому в 1797 году его назначили депутатом в Милане, а затем отправили в Париж для разработки новой десятичной метрической системы вместе с Лежандром. Маске- рони больше не смог вернуться в Милан, оккупированный австрийскими войсками, и умер на следующий год.
Загрузка...
