Решение матричного уравнения axb c имеет вид

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида AX = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

.

Так как E — единичная матрица, то EX = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

,

,

.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

.

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Читайте также  Почему айфон не видит контакты на симке

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Пример 2. Решить матричное уравнение

.

Пример 3. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

.

Решение. Это уравнение первого вида: AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 6. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид AXB = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

.

Находим матрицу, обратную матрице B :

.

AX = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем слева обе части уравнения на$ A^<-1>$.

Читайте также  Просмотр статуса в whatsapp

$A^<-1>cdot|Acdot X = B$

$A^<-1>cdot Acdot X = A^<-1>cdot B$

$I_cdot X = A^<-1>cdot B$

Решение уравнения имеет общий вид
$colorcdot B>$

Пример 50
Решить уравнение
$egin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot X egin 3 & 5\ 2 & 1 end$

Убедимся, что первая матрица обратима.
$left|A
ight|=5-6=-1
eq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем слева на обратную ей матрицу.
$egin 1 & 3\ 2 & 5\ end^<-1>cdot egin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot X= egin 1 & 3\ 2 & 5 end^<-1>cdot egin 3 & 5\ 2 & 1 end$

$I_<2>cdot X = egin 1 & 3\ 2 & 5 end^<-1>cdot egin 3 & 5\ 2 & 1 end$

$egin 1 & 3\ 2 & 5 end^<-1>= egin -5 & 3\ 2 & -1 end ightarrow X= egin -5 & 3\ 2 & -1 endcdot egin 3 & 5\ 2 & 1 end= egin -9 & -22\ 4 & 9 end$

XA = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем справа обе части уравнения на$ A^<-1>$.

$Xcdot A = B |cdot A^<-1>$

$Xcdot Acdot A^ <-1>= Bcdot A^<-1>$

$X cdot I_ =Bcdot A^<-1>$

Решение уравнения имеет общий вид
$color>$

Пример 51
Решить уравнение
$X egin 1 & 3\ 2 & 5\ end= egin 3 & 5\ 2 & 1\ end$

Убедимся, что первая матрица обратима.
$left|A
ight|=5-6=-1
eq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем справа на обратную ей матрицу.
$X egin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot egin 1 & 3\ 2 & 5 end^<-1>= egin 3 & 5\ 2 & 1 endcdot egin 1 & 3\ 2 & 5 end^<-1>$

$Xcdot I_<2>= egin 3 & 5\ 2 & 1 endcdot egin 1 & 3\ 2 & 5 end^<-1>$

$egin 1 & 3\ 2 & 5 end^<-1>= egin -5 & 3\ 2 & -1 end ightarrow X= egin 3 & 5\ 2 & 1 end cdot egin -5 & 3\ 2 & -1 end= egin -5 & 4\ -8 & 5 end$

Рассмотрим матричное уравнение вида

где [math]A[/math] и [math]B[/math] — данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица [math]A[/math] квадратная. Требуется найти матрицу [math]X[/math] , удовлетворяющую уравнению (4.5).

Читайте также  Почта россии отслеживание 17track

Теорема 4.2 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.5). Если определитель матрицы [math]A[/math] отличен от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет единственное решение [math]X=A^<-1>B[/math] .

В самом деле, подставляя [math]X=A^<-1>B[/math] в левую часть равенства (4.5), получаем [math]A(A^<-1>B)=underbrace>_B=B[/math] , т.е. правую часть этого равенства.

Заметим, что решением матричного уравнения [math]AX=E[/math] служит обратная матрица [math]X=A^<-1>[/math] .

Рассмотрим также матричное уравнение вида

где [math]A[/math] и [math]B[/math] — данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица [math]A[/math] квадратная. Требуется найти матрицу [math]Y[/math] , удовлетворяющую уравнению (4.6).

Теорема 4.3 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.6). Если определитель матрицы [math]A[/math] отличен от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное решение [math]Y=BA^<-1>[/math] .

Заметим, что матрица [math]X[/math] является как бы "левым" частным от "деления" матрицы [math]B[/math] на матрицу [math]A[/math] , поскольку матрица [math]X[/math] в (4.5) умножается на [math]A[/math] слева, а матрица [math]Y[/math] — "правым" частным, так как матрица [math]Y[/math] в (4.6) умножается на [math]A[/math] справа.

Пример 4.5. Даны матрицы

Решить уравнения: а) [math]AX=B[/math] ; б) [math]YB=B[/math] ; в) [math]YA=C[/math] .

Решение. Обратная матрица [math]A^<-1>=egin2&-1\ -1/2&1/2 end[/math] была найдена в примере 4.2.

а) Решение уравнения [math]AX=B[/math] находим, умножая обе его части слева на [math]A^<-1>:[/math]

б) Уравнение не имеет решений, так как матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] имеют разное количество столбцов [math](2
e3)[/math] .

в) Решение уравнения [math]YA=C[/math] находим, умножая обе его части справа на [math]A^<-1>:[/math]

Пример 4.6. Решить уравнение: [math]BX+2X=E[/math] , где [math]B=egin-1&2\1&2end[/math] .

Решение. Преобразуя левую часть уравнения:

Следовательно, [math]X=A^<-1>E=A^<-1>[/math] . Обратная матрица найдена в примере 4.2:

Пример 4.7. Решить уравнение [math]AXB=C[/math] , где

Решение. Обратные матрицы

были найдены в примерах 4.2, 4.3 соответственно. Решение уравнения находим по формуле

Пример 4.8. Решить уравнение [math]AX=B[/math] , где

Решение. Определитель матрицы [math]A[/math] равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Поэтому нельзя использовать формулу [math]X=A^<-1>B[/math] . Будем искать элементы матрицы [math]X=egina&b\c&dend[/math] . Подставляя в уравнение, получаем

Находим произведение, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц в левой и правой частях уравнения:

Здесь, учитывая пропорциональность уравнений, в системе оставлены только два уравнения из четырех. Выразим неизвестные [math]a[/math] и [math]b:[/math]

Следовательно, решение матричного уравнения имеет вид

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector