Содержание
Решение матричных уравнений: как это делается
Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,
где x — неизвестное.
А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.
Итак, матричным уравнением называется уравнение вида
где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.
Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:
.
По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому
.
Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :
.
Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение
то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:
,
,
.
Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .
Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения
.
Решение матричных уравнений: примеры
Пример 1. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :
.
Наконец, находим неизвестную матрицу:
Пример 2. Решить матричное уравнение
.
Пример 3. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.
Пример 4. Решить матричное уравнение
.
Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 5. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 6. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Найдём матрицу, обратную матрице B .
Сначала найдём определитель матрицы B :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы B :
Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :
.
Находим матрицу, обратную матрице B :
.
AX = B, где матрица A обратима
Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем слева обе части уравнения на$ A^<-1>$.
$A^<-1>cdot|Acdot X = B$
$A^<-1>cdot Acdot X = A^<-1>cdot B$
$I_
Решение уравнения имеет общий вид
$color
Пример 50
Решить уравнение
$egin
Убедимся, что первая матрица обратима.
$left|A
ight|=5-6=-1
eq 0$, следовательно, матрица обратима.
Умножаем слева на обратную ей матрицу.
$egin
$I_<2>cdot X = egin
$egin
XA = B, где матрица A обратима
Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем справа обе части уравнения на$ A^<-1>$.
$Xcdot A = B |cdot A^<-1>$
$Xcdot Acdot A^ <-1>= Bcdot A^<-1>$
$X cdot I_
Решение уравнения имеет общий вид
$color
Пример 51
Решить уравнение
$X egin
Убедимся, что первая матрица обратима.
$left|A
ight|=5-6=-1
eq 0$, следовательно, матрица обратима.
Умножаем справа на обратную ей матрицу.
$X egin
$Xcdot I_<2>= egin
$egin
Рассмотрим матричное уравнение вида
где [math]A[/math] и [math]B[/math] — данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица [math]A[/math] квадратная. Требуется найти матрицу [math]X[/math] , удовлетворяющую уравнению (4.5).
Теорема 4.2 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.5). Если определитель матрицы [math]A[/math] отличен от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет единственное решение [math]X=A^<-1>B[/math] .
В самом деле, подставляя [math]X=A^<-1>B[/math] в левую часть равенства (4.5), получаем [math]A(A^<-1>B)=underbrace>_
Заметим, что решением матричного уравнения [math]AX=E[/math] служит обратная матрица [math]X=A^<-1>[/math] .
Рассмотрим также матричное уравнение вида
где [math]A[/math] и [math]B[/math] — данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица [math]A[/math] квадратная. Требуется найти матрицу [math]Y[/math] , удовлетворяющую уравнению (4.6).
Теорема 4.3 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.6). Если определитель матрицы [math]A[/math] отличен от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное решение [math]Y=BA^<-1>[/math] .
Заметим, что матрица [math]X[/math] является как бы "левым" частным от "деления" матрицы [math]B[/math] на матрицу [math]A[/math] , поскольку матрица [math]X[/math] в (4.5) умножается на [math]A[/math] слева, а матрица [math]Y[/math] — "правым" частным, так как матрица [math]Y[/math] в (4.6) умножается на [math]A[/math] справа.
Пример 4.5. Даны матрицы
Решить уравнения: а) [math]AX=B[/math] ; б) [math]YB=B[/math] ; в) [math]YA=C[/math] .
Решение. Обратная матрица [math]A^<-1>=egin
а) Решение уравнения [math]AX=B[/math] находим, умножая обе его части слева на [math]A^<-1>:[/math]
б) Уравнение не имеет решений, так как матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] имеют разное количество столбцов [math](2
e3)[/math] .
в) Решение уравнения [math]YA=C[/math] находим, умножая обе его части справа на [math]A^<-1>:[/math]
Пример 4.6. Решить уравнение: [math]BX+2X=E[/math] , где [math]B=egin
Решение. Преобразуя левую часть уравнения:
Следовательно, [math]X=A^<-1>E=A^<-1>[/math] . Обратная матрица найдена в примере 4.2:
Пример 4.7. Решить уравнение [math]AXB=C[/math] , где
Решение. Обратные матрицы
были найдены в примерах 4.2, 4.3 соответственно. Решение уравнения находим по формуле
Пример 4.8. Решить уравнение [math]AX=B[/math] , где
Решение. Определитель матрицы [math]A[/math] равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Поэтому нельзя использовать формулу [math]X=A^<-1>B[/math] . Будем искать элементы матрицы [math]X=egin
Находим произведение, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц в левой и правой частях уравнения:
Здесь, учитывая пропорциональность уравнений, в системе оставлены только два уравнения из четырех. Выразим неизвестные [math]a[/math] и [math]b:[/math]
Следовательно, решение матричного уравнения имеет вид