Содержание
В этом разделе вы найдете подробные решения по вычислению поверхностых интегралов первого и второго рода и применению их к нахождению массы поверхности:
Поверхностные интегралы 1-го рода: примеры решений
Задача 1. Вычислить интеграл $$iint_S (x-y) dS,$$ где $S$ — часть цилиндра $x^2+y^2=a^2$, лежащая внутри цилиндра $z^2=a(a-x)$.
Задача 2. Вычислить $iint_sigma (5x-3y+3z) d sigma$, где $sigma$ — часть плоскости $P: 4x+3y+12z-12=0$, ограниченная координатными плоскостями.
Задача 3. Вычислить интеграл $iint_S (x+y+z) dS$, $S$ – поверхность $x^2+y^2+z^2=a^2, z ge 0$.
Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.
Поверхностные интегралы 2-го рода: примеры решений
Задача 4. Вычислить поверхностные интегралы второго рода $$iint_S (y^2+z^2) dxhat dy,$$ где $S$ — часть верхней стороны цилиндра $z=sqrt$, $0 le y le b$.
Вычислить поверхностный интеграл $iint_S z dxdy$, $S$ – внешняя сторона $x^2+y^2/4+z^2/9=1$.
Масса поверхности: примеры решений
Задача 6. Найти массу участка поверхности $z^2=x^2+y^2$, $(0 le z le 1)$, если плотность $delta=z$.
Абсолютное значение (dS = left| <largefrac<<partial mathbf
ormalsize imes largefrac<<partial mathbf
ormalsize>
ight|dudv) называется элементом площади : оно соответствует изменению площади (dS) в результате приращения координат (u) и (v) на малые значения (du) и (dv) (рисунок (1)).
Вычисление криволинейного и поверхностного интеграла 1 рода
Вычисление криволинейного интеграла 1 рода
1. Параметрическое представление кривой интегрирования:
2. Явное представление кривой интегрирования:
3. Полярное представление кривой интегрирования:
где L — отрезок прямой между точками О(0;0) и А(4;3).
Уравнение прямой ОА есть
Кривая задана явно.
Вычисление поверхностного интеграла 1 рода
Если поверхность σ задана на области D плоскости OXY функцией z=z(x,y), то
где σ — часть плоскости 4x + 3y + 2z — 4 = 0, расположенной в первом октанте.
Запишем уравнение плоскости в виде
Вычисление криволинейного и поверхностного интеграла 2 рода
Вычисление криволинейного интеграла 2 рода
Параметрическое представление кривой интегрирования x=x(t), y=y(t), t∈[t1, t2]
Найти работу силы
где L — контур ΔОВА, пробегаемый в положительном направлении, и A(3,6), B(0,6), O(0,0)
Р е ш е н и е: По свойству аддитивности:
Проверим полученный результат, используя формулу Грина. Имеем замкнутый контур — треугольник ОВА.
Явное представление кривой интегрирования y=y(x), x∈[a,b]
Вычисление поверхностного интеграла 2 рода
Если поверхность oзадана на области D плоскости OXY функцией z=z(x,y), то
где Dxy, — проекция поверхности oна OXY. Знак плюс или минус перед двойным интегралом берется в зависимости от ориентации поверхности σ (cos у будет положительным или отрицательным).
А) По верхней стороне части плоскости 2x-3y+z=6, лежащей в IV октанте.
Б) По внешней стороне пирамиды, ограниченной плоскостями 2x-3y+z=6, x=0, y=0, z=0.
А) Нормаль : n =(2;-3;1), соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью OY тупой угол, а осями OX и OZ — острые углы.
Загрузка...
