Решение пределов с факториалом

Содержание

1 Решение пределов функции
2 Применение правила Лопиталя
3 Предел числовой последовательности
4 Свойства пределов числовых последовательностей
5 Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
6 Число e. Второй замечательный предел

Итак, сервисы по нахождению пределов онлайн:

Решение пределов функции

Это он-лайн сервис в два шага:

Ввести функцию, предел которой необходимо вычислить
Ввести точку, в которой надо вычислить предел

Применение правила Лопиталя

Представлен калькулятор, который помогает вычислять пределы с помошью правила Лопиталя. Он не только даёт ответ, но ещё предоставляет подробное решение с помощью этого правила.

Факториал числа $n!$ равен произведению чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5$. Для решения примеров на пределы с факториалами понадобится знать и понимать формулу разложения на множители. $$ (n+1)! = n!(n+1) qquad (1) $$

Например, $5! = 4! cdot 5 $, или $5! = 3! cdot 4 cdot 5$, а можно еще так $5! = 2! cdot 3 cdot 4 cdot 5 $.

Основная суть идеи:

Выносим наименьший факториал числа за скобки в числителе и знаменателе
Сокращаем факториалы, избавляя тем самым предел от них
Вычисляем предел подходящим способом

Пример 1

Вычислить предел с факториалами $lim_limits frac<(n+1)!>$

Решение

Подставляя $x=infty$ в предел получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность. Избавимся от факториалов. Для этого используем формулу (1) для их разложения на множители.

Подставляем в предел полученное выражение и сокращаем на $n!$ числитель со знаменателем.

Теперь подставляя бесконечность в предел вычисляем ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$lim_limits frac <(n+1)!>= 0 $$

Определяем наименьший факториал $(2n+1)!$. Его нужно вынести за скобки. Но перед этим нужно разложить остальные факториалы на множители, одним из которых будет $(2n+1)!$. Для этого воспользуемся формулой (1).

$$(2n+2)! = (2n+1)! cdot (2n+2) $$ $$ (2n+3)! = (2n+1)! cdot (2n+2)cdot(2n+3) $$

Выполняем замену в пределе на полученные выражения.

Выносим общий множитель с факториалом в числителе за скобки и выполняем сокращение со знаменателем.

Раскрываем полученные скобки и сокращаем на $2n+3$.

Пример 2

Решить предел с факториалом $ lim_limits frac<(2n+1)! + (2n+2)!> <(2n+3)!>$

Решение

Ответ

$$ lim_limits frac<(2n+1)! + (2n+2)!> <(2n+3)!>= 0 $$

Понятно, что предел имеет неопределенность $frac<infty><infty>$. Попробуем её устранить избавившись от факториалов. Сразу находим среди них наименьший $n!$. Его нужно будет вынести за скобки. Но перед этим остальные факториалы нужно разложить по формуле (1) и затем подставить в предел.

Далее раскрываем скобки, попутно упрощая выражения, и затем выносим $n$.

Осталось выполнить сокращение на $n$ и получить ответ.

Пример 3

Найти предел $lim_limits frac<3(n+1)!> <2(n+1)!-n!>$

Решение

Предел числовой последовательности

Свойства пределов числовых последовательностей

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей

Число e. Второй замечательный предел

Предел числовой последовательности

Определение 1 . Число a называют пределом числовой последовательности

если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство

записывают с помощью обозначения

и произносят так: «Предел a_n при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».

То же самое соотношение можно записать следующим образом:

a_n → a при .

Словами это произносится так: « a_n стремится к a при n , стремящемся к бесконечности».

Замечание . Если для последовательности

найдется такое число a , что a_n → a при , то эта последовательность ограничена.

Определение 2 . Говорят, что последовательность

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство

Условие того, что числовая последовательность

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

или с помощью обозначения

при .

Пример 1 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство

Пример 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство

Пример 3 . Для любого числа a такого, что | a | справедливо равенство

Пример 4 . Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство

Пример 5 . Последовательность

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

Рассмотрим две последовательности

Если при существуют такие числа a и b , что

и ,

то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Если, кроме того, выполнено условие

то при существует предел дроби

Для любой непрерывной функции f (x) справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

знаменатель которой равен q .

Для суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

то будет справедлива формула

В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель q удовлетворяет неравенству

| q | Определение 3 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

Пример 6 . Найти предел последовательности

Решение . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3, получаем

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и сокращая дробь, получаем

Ответ .

Пример 7 . Найти предел последовательности

Решение . Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

Решение . Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби:

Ответ .

В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа .

Пример 8 . Найти предел последовательности

Решение . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:

Ответ .

Пример 9 . Найти предел последовательности

Решение . В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби,а затем сокращая дробь на n 2 :

Ответ .

Пример 10 . Найти предел последовательности

Решение . Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство

Число e. Второй замечательный предел

(1)

В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой e .

Таким образом, справедливо равенство

(2)

причем расчеты показывают, что число

Число e играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

которую называют «экспонента» .

что позволяет вычислять число e с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

Замечание . Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом . В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.