Решение пределов с тангенсами

Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:

Так как при $alpha o<0>$ имеем $sinalpha o<0>$, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида $frac<0><0>$. Вообще говоря, в формуле (1) вместо переменной $alpha$ под знаком синуса и в знаменателе может быть расположено любое выражение, – лишь бы выполнялись два условия:

1. Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида $frac<0><0>$.
2. Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.

Часто используются также следствия из первого замечательного предела:

На данной странице решены одиннадцать примеров. Пример №1 посвящен доказательству формул (2)-(4). Примеры №2, №3, №4 и №5 содержат решения с подробными комментариями. Примеры №6-10 содержат решения практически без комментариев, ибо подробные пояснения были даны в предыдущих примерах. При решении используются некоторые тригонометрические формулы, которые можно найти тут.

Замечу, что наличие тригонометрических функций вкупе с неопределённостью $frac <0><0>$ ещё не означает обязательное применение первого замечательного предела. Иногда бывает достаточно простых тригонометрических преобразований, – например, см. пример №11.

Формула доказана. Более строгое доказательство (с обоснованием равенства $lim_<alpha o<0>>cosalpha=1$) можно посмотреть в решебнике Демидовича (№474.1).

б) Сделаем замену $alpha=sin$. Поскольку $sin<0>=0$, то из условия $alpha o<0>$ имеем $y o<0>$. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $arcsinalpha=arcsin(sin)=y$, поэтому:

в) Сделаем замену $alpha= g$. Поскольку $ g<0>=0$, то условия $alpha o<0>$ и $y o<0>$ эквивалентны. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $arctgalpha=arctg g)=y$, поэтому, опираясь на результаты пункта а), будем иметь:

Равенства а), б), в) часто используются наряду с первым замечательным пределом.

Так как $lim_<2>>frac=frac<2^2-4><2+7>=0$ и $lim_<2>>sinleft(frac
ight)=sin<0>=0$, т.е. и числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$, т.е. первое условие выполнено. Кроме того, видно, что выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают (т.е. выполнено и второе условие):

Итак, оба условия, перечисленные в начале страницы, выполнены. Из этого следует, что применима формула (1), т.е. $lim_<2>> frac<sinleft(frac
ight)><frac>=1$.

Так как $lim_<0>>sin<9x>=0$ и $lim_<0>>x=0$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$, т.е. первое условие выполнено. Однако выражения под знаком синуса и в знаменателе не совпадают. Здесь требуется подогнать выражение в знаменателе под нужную форму. Нам необходимо, чтобы в знаменателе расположилось выражение $9x$, – тогда второе условие станет истинным. По сути, нам не хватает множителя $9$ в знаменателе, который не так уж сложно ввести, – просто домножить выражение в знаменателе на $9$. Естественно, что для компенсации домножения на $9$ придётся тут же на $9$ и разделить:

Теперь выражения в знаменателе и под знаком синуса совпали. Оба условия для предела $lim_<0>>frac<sin<9x>><9x>$ выполнены. Следовательно, $lim_<0>>frac<sin<9x>><9x>=1$. А это значит, что:

Так как $lim_<0>>sin<5x>=0$ и $lim_<0>> g<8x>=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$. Однако форма первого замечательного предела нарушена. Числитель, содержащий $sin<5x>$, требует наличия в знаменателе $5x$. В этой ситуации проще всего разделить числитель на $5x$, – и тут же на $5x$ домножить. Кроме того, проделаем аналогичную операцию и со знаменателем, домножив и разделив $ g<8x>$ на $8x$:

Сокращая на $x$ и вынося константу $frac<5><8>$ за знак предела, получим:

Обратите внимание, что $lim_<0>>frac<sin<5x>><5x>$ полностью удовлетворяет требованиям для первого замечательного предела. Для отыскания $lim_<0>>frac< g<8x>><8x>$ применима формула (2):

Так как $lim_<0>>(cos<5x>-cos^3<5x>)=1-1=0$ (напомню, что $cos<0>=1$) и $lim_<0>>x^2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам (дабы потом применить формулу (1)) или тангенсам (чтобы потом применить формулу (2)). Сделать это можно таким преобразованием:

Вернемся к пределу:

Дробь $frac<sin^2<5x>>$ уже близка к той форме, что требуется для первого замечательного предела. Немного поработаем с дробью $frac<sin^2<5x>>$, подгоняя её под первый замечательный предел (учтите, что выражения в числителе и под синусом должны совпасть):

Вернемся к рассматриваемому пределу:

Так как $lim_<0>>(1-cos<6x>)=0$ и $lim_<0>>(1-cos<2x>)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $frac<0><0>$. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела. Для этого перейдем от косинусов к синусам. Так как $1-cos<2alpha>=2sin^2<alpha>$, то:

Переходя в заданном пределе к синусам, будем иметь:

Вычислить предел $lim_<0>>frac<cos(alpha)-cos(eta)>$ при условии $alpha
eqeta$.

Подробные пояснения были даны ранее, здесь же просто отметим, что вновь наличествует неопределенность $frac<0><0>$. Перейдем от косинусов к синусам, используя формулу

Используя указанную формулу, получим:

Так как $lim_<0>>( g-sin)=0$ (напомню, что $sin<0>= g<0>=0$) и $lim_<0>>x^3=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$. Раскроем её следующим образом:

Аналогичную задачу можно посмотреть в решебнике Демидовича (№475)

Так как $lim_<3>>(1-cos(x-3))=0$ и $lim_<3>>(x-3) gfrac<2>=0$, то наличествует неопределенность вида $frac<0><0>$. Перед тем, как переходить к её раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах (1)-(4) переменная $alpha o 0$). Проще всего ввести переменную $t=x-3$. Однако ради удобства дальнейших преобразований (эту выгоду можно заметить по ходу приведённого ниже решения) стоит сделать такую замену: $t=frac<2>$. Отмечу, что обе замены применимы в данном случае, просто вторая замена позволит поменьше работать с дробями. Так как $x o<3>$, то $t o<0>$.

Вновь мы имеем дело с неопределенностью $frac<0><0>$. Перед тем, как переходить к ее раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах (1)-(4) переменная $alpha o<0>$). Проще всего ввести переменную $t=frac<pi><2>-x$. Так как $x ofrac<pi><2>$, то $t o<0>$:

В данном случае нам не придётся использовать первый замечательный предел. Обратите внимание: как в первом, так и во втором пределах присутствуют только тригонометрические функции и числа. Зачастую в примерах такого рода удаётся упростить выражение, расположенное под знаком предела. При этом после упомянутого упрощения и сокращения некоторых сомножителей неопределённость исчезает. Я привёл данный пример лишь с одной целью: показать, что наличие тригонометрических функций под знаком предела вовсе не обязательно означает применение первого замечательного предела.

Так как $lim_<2>>(1-sin)=0$ (напомню, что $sinfrac<pi><2>=1$) и $lim_<2>>cos^2x=0$ (напомню, что $cosfrac<pi><2>=0$), то мы имеем дело с неопределенностью вида $frac<0><0>$. Однако это вовсе не означает, что нам потребуется использовать первый замечательный предел. Для раскрытия неопределенности достаточно учесть, что $cos^2x=1-sin^2x$:

Аналогичный способ решения есть и в решебнике Демидовича (№475). Что же касается второго предела, то как и в предыдущих примерах этого раздела, мы имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Отчего она возникает? Она возникает потому, что $ gfrac<2pi><3>=-sqrt<3>$ и $2cosfrac<2pi><3>=-1$. Используем эти значения с целью преобразования выражений в числителе и в знаменателе. Цель наших действий: записать сумму в числителе и знаменателе в виде произведения. Кстати сказать, зачастую в пределах аналогичного вида удобна замена переменной, сделанная с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (см., например, примеры №9 или №10 на этой странице). Однако в данном примере в замене смысла нет, хотя при желании замену переменной $t=x-frac<2pi><3>$ несложно осуществить.

Как видите, нам не пришлось применять первый замечательный предел. Конечно, при желании это можно сделать (см. примечание ниже), но необходимости в этом нет.

Каким будет решение с использованием первого замечательного предела? показатьскрыть

При использовании первого замечательного предела получим:

Первый замечательный предел выглядит следующим образом: lim x → 0 sin x x = 1 .

В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: lim x → 0 sin k · x k · x = 1 , где k – некоторый коэффициент.

Поясним: lim x → 0 sin ( k · x ) k · x = п у с т ь t = k · x и з x → 0 с л е д у е т t → 0 = lim t → 0 sin ( t ) t = 1 .

Следствия первого замечательного предела:

1. lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1

1. lim x → 0 k · x sin k · x = lim x → 0 1 sin ( k · x ) k · x = 1 1 = 1

Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.

Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: lim x → 0 sin ( 3 x ) 2 x .

Решение

lim x → 0 sin ( 3 x ) 2 x = " open=" 0 0

Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на 3 x и получим:

lim x → 0 sin ( 3 x ) 2 x = " open=" 0 0 = lim x → 0 3 x · sin ( 3 x ) 3 x · ( 2 x ) = lim x → 0 sin ( 3 x ) 3 x · 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 · sin ( 3 x ) 3 x

Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: lim x → 0 sin ( 3 x ) 3 x = 1 .

Тогда приходим к результату:

lim x → 0 3 2 · sin ( 3 x ) 3 x = 3 2 · 1 = 3 2

Ответ: lim x → 0 sin ( 3 x ) 3 x = 3 2 .

Необходимо найти предел lim x → 0 1 — cos ( 2 x ) 3 x 2 .

Решение

Подставим значения и получим:

lim x → 0 1 — cos ( 2 x ) 3 x 2 = 1 — cos ( 2 · 0 ) 3 · 0 2 = 1 — 1 0 = " open=" 0 0

Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:

lim x → 0 1 — cos ( 2 x ) 3 x 2 = " open=" 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 ( x ) 3 x 2

Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:

lim x → 0 2 sin 2 ( x ) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 · sin x x · sin x x = 2 3 · 1 · 1 = 2 3

Ответ: lim x → 0 1 — cos ( 2 x ) 3 x 2 = 2 3 .

Необходимо произвести вычисление предела lim x → 0 a r c sin ( 4 x ) 3 x .

Решение

lim x → 0 a r c sin ( 4 x ) 3 x = a r c sin ( 4 · 0 ) 3 · 0 = " open=" 0 0

Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:

a r c sin ( 4 x ) = t ⇒ sin ( a r c sin ( 4 x ) ) = sin ( t ) 4 x = sin ( t ) ⇒ x = 1 4 sin ( t ) lim x → 0 ( a r c sin ( 4 x ) ) = a r c sin ( 4 · 0 ) = 0 , значит t → 0 при x → 0 .

В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:

lim x → 0 a r c sin ( 4 x ) 3 x = " open=" 0 0 = lim t → 0 t 3 · 1 4 sin ( t ) = = lim t → 0 4 3 · t sin t = 4 3 · 1 = 4 3

Ответ: lim x → 0 a r c sin ( 4 x ) 3 x = 4 3 .

Для более полного понимания материала статьи следует повторить материал темы «Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и решения».

Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:

Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.

Пример 1

Решить предел с тригонометрическими функциями с помощью первого замечательного предела $lim_limits frac<sin3x>$

Решение

Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(frac<0><0>)$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.

$$ tg 2x = frac <2x>cdot 2x $$ $$ sin 3x = frac<sin 3x> <3x>cdot 3x $$

Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.

Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$lim_limits frac <sin3x>= frac<2><3>$$

Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).

Теперь с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2 — b^2$ упростим числитель.

В этой задаче не обойтись без тригонометрической формулы $1-cos x = 2sin^2 frac<2>$. Выполним по ней преобразование выражение в знаменателе.

Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.

Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.

Выносим константу перед пределом и сокращаем $x$ в числителе и знаменателе.

Пример 2

Вычислить предел с помощью тригонометрического преобразования $lim_limits frac<sqrt<4+x>-2><1-cos 3x>$

Решение

Ответ

$$lim_limits frac<sqrt<4+x>-2> <1-cos 3x>= infty$$

Подставляя $x=0$ получаем неопределенность (0^0). Под пределом показательно-степенная функция, поэтому нужно воспользоваться логарифмированием и свести к неопределенности $(frac<infty><infty>)$, чтобы затем воспользоваться правилом Лопиталя.

Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.

Подставляем полученное выражение под знак предела и пременяем свойство предела для показательной функции.

Теперь, подставляя $x=0$ в предел, вычисляем окончательный ответ.

Пример 3

Найти предел с помощью логарифмирования $lim_limits (tg x)^ <sin x>$

Решение

Ответ

$$lim_limits (tg x)^ <sin x>= 1$$

Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.

$$ arcsin 3x sim 3x $$ $$1-cos 2x sim 2x^2 $$

Подставляем в предел и получаем готовый ответ.

Пример 4

Взять предел путем замены на бесконечно малые эквивалентные функции $lim_limits frac<1-cos 2x>$

Решение