Решение сферических треугольников примеры

Свойства сферического треугольника

Сферические треугольники обладают рядом свойств:

1. Любая сторона сф. треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон, т.е.:

а + b > c; b+ c > a; с + a > b;

b> a – c ; a > b – c; c> b – a;

2. Сумма сторон cф. треугольника больше нуля и меньше 360°, т.е.: 0°

3. Сумма углов cф. треугольника больше 180° и меньше 540° , т.е.:

180° 0, то и A – B >0 и т.д..

Для прямоугольных сферических треугольников должна выполняться ещё два условия:

7. Число сторон, больше 90° – должно быть чётное, а меньше 90° – не чётное;

8. Катет и противолежащий ему угол, всегда лежат в одной четверти.

Решить сферический треугольник значит по известным элементам найти неизвестные. Сферический треугольник определяется тремя элементами, т.е. по любым трём известным, можно найти три неизвестные; Это сочетание известных элементов сводится к следующим основным вариантом:

а) по трём сторонам;

б) по трём углам;

в) по двум сторонам и углу между ними;

г) по двум угла и стороне между ними;

д) по двум сторонам и углу противолежащему одной из них;

е) по двум углам и стороне, противолежащей одному из них.

Общее число сочетаний (вариантов) для косоугольного треугольника определяется выражением из теории вероятности: С3,6 = 6х5х4/1х2х3 = 20; для прямоугольного: С3,5 = 5х4х3 /1х2х3 = 10

Решают сферические треугольники по формулам сферической тригонометрии (мы их записываем без доказательств);

Наиболее часто используются следующие формулы:

1. формула косинусов стороны;

2. формула синусов;

3. формула пяти элементов ( произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла);

4. формула котангенсов четырех элементов;

5. формула косинусов угла;

Формулы косинусов сторон:

cosа= cosb cosс+sinв sinс cosА

cosb= cosа cosс+sinа sinс cosВ (3.1)

cosс= cosb cosа+sinв sinа cosС

-косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих сторон , умноженное на косинус угла между ними.

Формула косинусов углов:

cosА=- cosВ cosС+sinВ sinС cosа

cosВ=- cosА cosС+sinа sinС cosb (3.2)

cosС=- cosВ cosА+sinВ sinА cosс

-косинус угла равен произведению косинусов двух других углов со знаком минус плюс произведение синусов этих углов , умноженное на косинус стороны между ними.

sinА /sinа=sinВ /sinb =sinС/ sinс (3.3)

− отношение синуса угла к синусу противолежащей стороны одинаково для всех вершин сферического треугольника.

Формулу синусов можно (и удобно ) расписать так:

Читайте также  Прошивки для смартфонов prestigio 5504 duo

sin А sinb =sinВ sinа

sinА sinс =sinС sinа (3.4)

sin В sinс =sinС sinb (3.10)

Формула пяти элементов:

sina×cosB=cosb×sinc-sinb×cosc×cosA (3.5)

— синус стороны, умноженный на косинус прилежащего угла, равен косинусу стороны, противолежащей углу, умноженному на синус третьей стороны, минус произведение синуса второй стороны на косинус третьей стороны и на косинус угла между ними. Остальные пять формул аналогичные (11), можно получить круговой перестановкой элементов треугольника.

Формула четырех элементов (котангенсов):

cosc×cosA=sinc×ctgb-ctgB×sinA (3.6)

— произведение косинуса стороны на косинус прилегающего угла равно произведению синуса той же стороны на котангенс второй прилегающей стороны к первому углу минус произведение котангенса угла противолежащего второй стороне на синус первого угла.

Существуют и другие формулы: аналогии Непера, формулы Борда, Мольвейде и другие [1-3].

Для решения прямоугольных сферических треугольников применяется правило Непера – Модюи:

Косинус какого-либо элемента равен произведению котангенсов смежных с ним элементов или произведению синусов не смежных;

1. Катеты берутся как дополнение до 90 градусов;

2. Прямой угол не учитывается при определении смежных или несмежных элементов, т.е катеты — смежные элементы (лежащие рядом ) :

сos ( 90 – b ) = sin b = tg c×ctg C ;

cos ( 90 – b ) = sin b = sina×sin B;

сos ( 90 – b ) = ctg ( 90 – c ) ×ctg C; (3.7)

сos ( 90 – b ) = sin a × sin B.

| следующая лекция ==>
Основные понятия сферической тригонометрии | Небесная сфера, основные точки и круги

Дата добавления: 2014-01-04 ; Просмотров: 1823 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Сферические треугольники.

На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лу­чами.

Свойства сферических треу­гольников.

Каждая сторона и угол сфери­ческого треугольника по определению мень­ше 180°. Геометрия на поверхности шара являет­ся неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треуголь­нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Читайте также  Полный птс купил машину

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

  • тремя сторонами,
  • тремя углами,
  • двумя сторонами и заключенным между ними углом,
  • стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Виды геодезических треугольников.

Решение сферических треугольников по теореме Лежандра.

Решение сферических треугольников по способу аддитаментов.

Виды геодезических треугольников.

Триангуляция как основной метод построения геодезической сети на земной поверхности состоит из различного вида треугольников, вершинами которых являются геодезические пункты. Измеренные на этих пунктах угловые и линейные величины исправляются различного рода поправками, учитывающими инструментальные погрешности и влияние внешней среды.

Для математической обработки измеренных величин в триангуляции в настоящее время применяют два принципиально различающихся друг от друга метода.

В первом методе уравниваются совместно все измеренные в треугольниках величины: горизонтальные углы, зенитные расстояния и длины сторон. Триангуляционная сеть в этом случае рассматривается как пространственное построение в виде своеобразного многогранника, гранями которого являются плоские треугольники.

Во втором методе уравнивания геодезической сети все геодезические пункты проектируются на поверхность земного эллипсоида по нормалям к этой поверхности. Проекции геодезических пунктов соединяются геодезическими линиями.

Треугольники на поверхности эллипсоида, образованные геодезическими линиями, называются сфероидическими треугольниками.

Уравниванию подлежит геодезическая сеть, состоящая из сфероидических треугольников.

Для получения элементов сфероидического треугольника необходимо перейти от измеренных горизонтальных углов (или направлений) и прямолинейных сторон пространственного треугольника к соответствующим углам и сторонам сфероидического треугольника. Затем посредством решения сфероидического треугольника найти неизмеренные длины сторон.

С целью упрощения вычислений возникает необходимость замены поверхности эллипсоида более простой поверхностью шара.

Поверхность эллипсоида не развёртывается на шаре, т.е. её невозможно наложить всеми точками на поверхность шара так, чтобы расстояния между точками не изменились. На практике обычно приходится иметь дело с треугольниками, стороны которых не превышают 40÷50 км и в редких случаях достигают 70÷80 км. Вследствие близости земного эллипсоида к сфере различия в элементах сферических и сфероидических треугольников в триангуляции невелики и ими пренебрегают. При больших расстояниях учитывают возникающие искажения углов и длин линий по соответствующим формулам. Таким образом, вычисление триангуляции сводится к решению сферических треугольников, которые решаются с использованием теоремы Лежандра или способом аддидаментов.

Решение сферических треугольников по теореме Лежандра.

Если стороны плоского и сферического треугольников соответственно равны, то углы плоского треугольника равны углам сферического треугольника, уменьшенным на одну треть сферического избытка.

Сумма углов сферического треугольника равна:

Читайте также  Программа для создания писем для рассылки

где ε – сферический избыток треугольника

Р – площадь треугольника

R – средний радиус кривизны сферического треугольника

Углы плоского треугольника определяются по формулам:

Углы А1, В1, С1 называют плоскими приведенными углами.

Площадь плоского треугольника можно вычислить по формуле:

В этих формулах сферический избыток по любым двум сторонам. Но эти формулы можно преобразовать так, чтобы сферический избыток был функцией только одной стороны. Рассматривая сферический треугольник как плоский можно записать:

С учётом этого сферического избытка можно привести к виду:

Так как для плоского треугольника:

то:

Аналогично можно найти:

Используя эти соотношения можно вывести ещё одну группу формул сферического избытка:

обладают одинаковой точностью. В триангуляции 1 класса сферический избыток вычисляется с точностью до 0,001″.

Если стороны сферического треугольника меньше 90км., то при вычислении сферического избытка различием между сферическими углами и их приведенными значениями можно пренебречь.

При больших расстояниях переход к плоским приведенным углам совершается по формулам:

где: nA, nB, и nC – Гауссова кривизна вершин треугольника АВС. Треугольники при этом рассматриваются как сфероидические. Суммарное значение поправок меньше 0,001″,если стороны треугольника не превосходят 200 км.

Более точная формула для сферического избытка имеет вид:

При вычислении сферического избытка поправочный член следует учитывать, если стороны треугольника больше 90 км.

Если стороны треугольника близки или больше 90 км, сферический избыток следует вычислять двумя приближениями: сначала получить приближённое значение сферического избытка по формуле: и по нему вычислить приближённое значение приведенного плоского угла . С этим приближенным значением угла сферический избыток вычисляется по формуле

Порядок вычислений при решении сферических треугольников по трём углам и одной стороне:

Вычисляется сферический избыток треугольника.

От углов сферического треугольника переходят к приведенным значениям углов плоского

Решая треугольник как плоский, по исходной стороне вычисляют его искомые стороны.

Решение сферического треугольника по трём сторонам.

При использовании теоремы Лежандра по трём сторонам треугольники следует решать как плоские, принимая стороны сферических треугольников прямолинейными, а к вычисленным таким образом углам треугольников прибавлять поправки равные .

В этом случае формулы для вычислений углов плоского треугольника будут иметь вид:

где Р – площадь, а р – полупериметр треугольника АВС:

Углы сферического треугольника вычисляются по формулам:

Формула для вычисления сферического избытка:

Порядок вычислений при решении сферических треугольников по трём сторонам:

Вычисляется полупериметр и площадь сферического треугольника.

Решая треугольник как плоский, вычисляют приведенные значения углов треугольника.

Вычисляется сферический избыток треугольника.

От приведенных значений углов плоского треугольника переходят к углам сферического треугольника.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector