Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения x2 = — 1.
Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так, уравнение x2 = — 1 имеет два решения: x1 = i, x2 = — i.
Это нетрудно установить проверкой: , .
Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида:
где x — неизвестная, a, b, c — действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем . Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.
Разделим все члены уравнения на и перенесем свободный член в правую часть уравнения:
К обеим частям уравнения прибавим выражение с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых:
Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения:
Найдем значения неизвестной:
Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения.
Если , то есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни.
Если же то мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни.
Результаты исследования представлены ниже в таблице:
Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение.
1. Решите уравнение .
Решение. Найдем дискриминант .
Уравнение имеет два действительных корня:
2. Решите уравнение .
Решение. , уравнение имеет два равных действительных корня:
Калькулятор на сайте "Контрольная работа Ру" позволяет решать уравнения с комплексными числами и переменными онлайн, в том числе квадратные уравнения с комплексными числами. Итак, пример-инструкция, как воспользоваться калькулятором: Надо решить комплексное уравнение:
, где i — комплексная единица, exp — это экспонента e .. для этого перейдите по ссылке решение уравнений онлайн и введите данное комплексное уравнение, также укажите, что i — это комплексная единица, а то ответа не получится. Получится как здесь Еще один пример с квадратным уравнением с комплексными числами: Надо решить квадратное уравнение
. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку "решить"), нажимаете кнопку под формой "Обновить" и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке
Опубликовано: Январь 23, 2013
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач
Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.
Двучленным называется уравнение вида $x^
Рассмотрим три случая:
Решить уравнение: $x^ <3>=8$.
Так как $A>0$, то $x_
ight),, , , k=0. 2$.
При $k=0$ получаем $x_ <0>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos 0+icdot sin 0
ight)=sqrt[<3>] <8>=2$.
При $k=1$ получаем
[x_ <1>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<2pi > <3>+icdot sin frac<2pi > <3>ight)=sqrt[<3>] <8>cdot (-frac<1> <2>+frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=2cdot (-frac<1> <2>+frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=-1+sqrt <3>cdot i.]
При $k=2$ получаем
[x_ <2>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<4pi > <3>+icdot sin frac<4pi > <3>ight)=sqrt[<3>] <8>cdot (-frac<1> <2>-frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=2cdot (-frac<1> <2>-frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=-1-sqrt <3>cdot i.]
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Решить уравнение: $x^ <3>=1+i$.
Так как $A$ — комплексное число, то
Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos varphi +icdot sin varphi )$.
По условию $a=1,b=1$.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
[varphi =arg z=arctgfrac<1> <1>=arctg1=frac<pi > <4>]Подставим полученные значения и получим:
Уравнение перепишем в виде:
При $k=0$ получаем $x_ <0>=sqrt[<3>] <sqrt<2>> cdot left(cos frac<pi /4> <3>+icdot sin frac<pi /4> <3>
ight)=sqrt[<3>] <sqrt<2>> cdot left(cos frac<pi > <12>+icdot sin frac<pi > <12>
ight)=sqrt[<6>] <2>cdot left(cos frac<pi > <12>+icdot sin frac<pi > <12>
ight)$.
При $k=1$ получаем
При $k=2$ получаем
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Квадратным называется уравнение вида $ax^ <2>+bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.
Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^ <2>-4ac$, при этом
В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.
Решить уравнение $x^ <2>+2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.
[D=2^ <2>-4cdot 1cdot 5=4-20=-16.]Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.
В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.
Комплексное число вида $overline
Известно, что если $x_ <1,2>$ являются корнями квадратного уравнения $ax^ <2>+bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_ <1>)(x-x_ <2>)=0$. В общем случае $x_ <1,2>$ являются комплексными корнями.
Зная корни уравнения $x_ <1,2>=1pm 2i$, записать исходное уравнение.
Запишем уравнение следующим образом:
[x^ <2>-(1-2i)cdot x-xcdot (1+2i)+(1-2i)cdot (1+2i)=0] [x^ <2>-x+2icdot x-x-2icdot x+1-4i^ <2>=0] [x^ <2>-2x+1+4=0] [x^ <2>-2x+5=0]Следовательно, $x^ <2>-2x+5=0$ — искомое уравнение.
Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.
Решить уравнение: $z^ <2>+(1-2i)cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.
Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.
В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
Загрузка...
