Решить слау методом зейделя

В данной статье мы расскажем общие сведения об итерационных методах решения СЛАУ, познакомим с методом Зейделя и Якоби, а также приведем примеры решения систем линейных уравнений при помощи данных методов.

Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации

Метод итерации — это численный и приближенный метод решения СЛАУ.

Суть: нахождение по приближённому значению величины следующего приближения, которое является более точным. Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x 0 .

Рассмотрим систему A x = b .

Чтобы применить итерационный метод, необходимо привести систему к эквивалентному виду x = B x + d . Затем выбираем начальное приближение к решению СЛАУ x ( 0 ) = ( x 1 0 , x 2 0 , . . . x m 0 ) и находим последовательность приближений к корню.

Для сходимости итерационного процесса является достаточным заданное условие В 1 . Окончание итерации зависит от того, какой итерационный метод применили.

Метод Якоби

Метод Якоби — один из наиболее простых методов приведения системы матрицы к виду, удобному для итерации: из 1-го уравнения матрицы выражаем неизвестное x 1 , из 2-го выражаем неизвестное x 2 и т.д.

Результатом служит матрица В , в которой на главной диагонали находятся нулевые элементы, а все остальные вычисляются по формуле:

b i j = — a i j / a i i , i , j = 1 , 2 . . . , n

Элементы (компоненты) вектора d вычисляются по следующей формуле:

d i = b i / a i i , i = 1 , 2 , . . . , n

Расчетная формула метода простой итерации:

x ( n + 1 ) = B x ( x ) + d

Матричная запись (координатная):

x i ( n + 1 ) = b i 1 x n 1 + b i 2 x ( n ) 2 + . . . + b

Критерий окончания в методе Якоби:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε 1 , где ε 1 = 1 — B B ε

В случае если B 1 / 2 , то можно применить более простой критерий окончания итераций:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε

Решить СЛАУ методом Якоби:

10 x 1 + x 2 — x 3 = 11 x 1 + 10 x 2 — x 3 = 10 — x 1 + x 2 + 10 x 3 = 10

Необходимо решить систему с показателем точности ε = 10 — 3 .

Приводим СЛАУ к удобному виду для итерации:

x 1 = — 0 , 1 x 2 + 0 , 1 x 3 + 1 , 1 x 2 = — 0 , 1 x 1 + 0 , 1 x 3 + 1 x 3 = 0 , 1 x 1 — 0 , 1 x 2 + 1

Выбираем начальное приближение, например: x ( 0 ) = 1 , 1 1 1 — вектор правой части.

В таком случае, первая итерация имеет следующий внешний вид:

x 1 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 + 0 , 1 × 1 + 1 , 1 = 1 , 1 x 2 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 , 1 + 0 , 1 + 1 = 0 , 99 x 3 ( 1 ) = 0 , 1 × 1 , 1 — 0 , 1 × 1 + 1 = 1 , 01

Аналогичным способом вычисляются приближения к решению:

x ( 2 ) = 1 , 102 0 , 991 1 , 011 , x ( 3 ) = 1 , 102 0 , 9909 1 , 0111 , x ( 4 ) = 1 , 10202 0 , 99091 1 , 01111

Находим норму матрицы В , для этого используем норму B ∞ .

Поскольку сумма модулей элементов в каждой строке равна 0,2, то B ∞ = 0 , 2 1 / 2 , поэтому можно вычислить критерий окончания итерации:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε

Далее вычисляем нормы разности векторов:

x ( 3 ) — x ( 2 ) ∞ = 0 , 002 , x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ = 0 , 00002 .

Поскольку x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ ε , то можно считать, что мы достигли заданной точности на 4-ой итерации.

x 1 = 1 , 102 ; x 2 = 0 , 991 ; x 3 = 1 ,01 1 .

Метод Зейделя

Метод Зейделя — метод является модификацией метода Якоби.

Читайте также  Распознавание символов с картинки

Суть: при вычислении очередного ( n + 1 ) — г о приближения к неизвестному x i при i > 1 используют уже найденные ( n + 1 ) — е приближения к неизвестным x 1 , x 2 , . . . , x i — 1 , а не n — о е приближение, как в методе Якоби.

x i ( n + 1 ) = b i 1 x 1 ( n + 1 ) + b i 2 x 2 ( n + 1 ) + . . . + b i , i — 1 x i — 2 ( n + 1 ) + b i , i + 1 x i + 1 ( n ) +

+ . . . + b i m x m ( n ) + d i

За условия сходимости и критерий окончания итераций можно принять такие же значения, как и в методе Якоби.

Решить СЛАУ методом Зейделя. Пусть матрица системы уравнений А — симметричная и положительно определенная. Следовательно, если выбрать начальное приближение, метод Зейделя сойдется. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы не накладывается.

Решим 3 системы уравнений:

2 x 1 + x 2 = 3 x 1 — 2 x 2 = 1 , x 1 + 2 x 2 = 3 2 x 1 — x 2 = 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1

Приведем системы к удобному для итерации виду:

x 1 ( n + 1 ) = — 0 , 5 x 2 ( n ) + 1 , 5 x 2 ( n + 1 ) = 0 , 5 x 1 ( n + 1 ) + 0 , 5 , x 1 ( n + 1 ) = — 2 x 2 ( n ) + 3 x 2 ( n + 1 ) = 2 x 1 ( n + 1 ) — 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1 .

Отличительная особенность, условие сходимости выполнено только для первой системы:

Вычисляем 3 первых приближения к каждому решению:

1-ая система: x ( 0 ) = 1 , 5 — 0 , 5 , x ( 1 ) = 1 , 75 0 , 375 , x ( 2 ) = 1 , 3125 0 , 1563 , x ( 3 ) = 1 , 4219 0 , 2109

Решение: x 1 = 1 , 4 , x 2 = 0 , 2 . Итерационный процесс сходится.

2-ая система: x ( 0 ) = 3 — 1 , x ( 1 ) = 5 9 , x ( 2 ) = — 15 — 31 , x ( 3 ) = 65 129

Итерационный процесс разошелся.

Решение: x 1 = 1 , x 2 = 2

3-я система: x ( 0 ) = 1 , 5 2 , x ( 1 ) = 2 — 6 , x ( 2 ) = 0 2 , x ( 3 ) = 0 2

Итерационный процесс зациклился.

Решение: x 1 = 1 , x 1 = 2

Метод простой итерации

Если А — симметричная и положительно определенная, то СЛАУ приводят к эквивалентному виду:

x = x — τ ( A x — b ) , τ — итерационный параметр.

Расчетная формула имеет следующий внешний вид:

x ( n + 1 ) = x ( n ) — τ ( A x n — b ) .

Здесь B = E — τ A и параметр τ > 0 выбирают таким образом, чтобы по возможности сделать максимальной величину B 2 .

Пусть λ m i n и λ m a x — максимальные и минимальные собственные значения матрицы А .

τ = 2 / ( λ m i n + λ m a x ) — оптимальный выбор параметра. В этом случае B 2 принимает минимальное значение, которое равняется ( λ m i n + λ m a x ) / ( λ m i n — λ m a x ) .

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) – е приближения неизвестных x1, х2, .

В этом методе, как и в методе простой итерации, необходимо привести систему к виду (3), чтобы диагональные коэффициенты были максимальными по модулю, и проверить условия сходимости. Если условия сходимости не выполняются, то нужно произвести элементарные преобразования (см. п. 4). Пусть дана система из трех линейных уравнений. Приведем ее к виду (3). Выберем произвольно начальные приближения корней: х1(0), х2(0), х3(0), стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным. За нулевое приближение можно принять столбец свободных членов, т. е. х(0) = b

(т. е. x1(0)=b1, x2(0)=b2, x3(0)=b3). Найдем Первое приближение х(1) по формулам:

Следует обратить внимание на особенность метода Зейделя, которая состоит в том, что полученное в первом уравнении значение х1(l) сразу же используется во втором уравнении, а значения х1(1), х2(1) – в третьем уравнении и т. д. То есть все найденные значения х1(1) подставляются в уравнения для нахождения хi+1(1) [6, 8].

Читайте также  Почему эксель меняет последние цифры на нули

Рабочие формулы для метода Зейделя для системы трех уравнений имеют следующий вид:

Запишем в общем виде для системы n-уравнений рабочие формулы:

Заметим, что теорема сходимости для метода простой итерации справедлива и для метода Зейделя.

Зададим определенную точность решения e, по достижении которой итерационный процесс завершается, т. е. решение продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие для всех уравнений: где i=1,2,3,…,n.

Пример №2. Методом Зейделя решить систему с точностью e = 10-3:

1. Приведем систему к виду:

2. В качестве начального вектора х(0) возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:

3. Проведем итерации методом Зейделя. При k = 1

.

При вычислении х2(1) используем уже полученное значение х1(1) =

.

При вычислении х3(1) используем значения х1(1) и х2(1):

Наконец, используя значения х1(1), х2(1), х3(1), получаем:

Аналогичным образом ведем вычисления при k=2 и k=3. При k= 2:

Найдем модули разностей значений при k = 2:

Они меньше заданного числа e, поэтому в качестве решения возьмем: x1 = 0,80006, x2 = 1,00002, x3 = 1,19999, x4 = 1,40000.

Данный метод является одним из самых распространенных итерационных методов решения СЛАУ, поскольку он отличается простотой и легкостью программирования. Рассмотрим его суть. Допустим, диагональные коэффициенты исходной матрицы <aij>отличны от нуля (в противном случае можно переставить местами уравнения исходной системы). Представим исходную систему (2.1) в следующем виде:

(2.5)

Если теперь задать для неизвестных их начальные приближенные значения , то система (2.5) позволяет вычислить более точные значения неизвестных на первом шаге (на первой итерации):

(2.6)

Используя найденные значения неизвестных, можно еще более уточнить их на второй итерации:

(2.7)

В данном методе для нахождения значения i-го неизвестного на каждой итерации используются значения предыдущих неизвестных, уже найденные на данной итерации. Общую формулу определения i-го неизвестного на k-й итерации для системы n уравнений можно записать так:

i = 1, 2, … , n; k = 1, 2, … (2.8)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения xi ( k ) ,не станут достаточно близкими к xi ( k -1) . Близость этих значений можно охарактеризовать максимальной абсолютной величиной их разности d. Тогда при заданной точности вычислений e > 0 критерий окончания итерационного процесса можно записать в виде

. (2.9)

При выполнении этого условия итерационный процесс называется сходящимся. В этом случае максимальные разности между значениями соответствующих неизвестных в двух последовательных итерациях убывают, а сами значения стремятся к решению системы.

Читайте также  Сброс до заводских настроек android samsung

Доказано, что для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения были не меньше суммы модулей всех остальных коэффициентов:

, (2.10)

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство (2.10) должно выполняться строго.

В качестве примера рассмотрим решение методом Гаусса-Зейделя системы (2.2). Заметим, что достаточное условие сходимости итерационного процесса (2.10) для этой системы соблюдается. Запишем исходную систему в виде

В качестве начальных приближений возьмем нули, т.е. примем x2 (0) = x3 (0) = 0.

Найдем значения неизвестных на первой итерации:

Далее произведем вторую итерацию:

Производя аналогично третью и последующие итерации, найдем:

Нетрудно заметить, что разности между значениями соответствующих неизвестных в процессе итераций убывают, следовательно, процесс решения сходящийся, что и следовало ожидать. Если принять точность вычислений e = 0,02, то итерации следует закончить. При увеличении заданной точности вычисления корней, число итераций возрастает, например, при e = 0,00001 следует выполнить 11 итераций, а результат будет x1 (11) = 1,000000; x2 (11) = 1,999998; x3 (11) = 2,999999.

Программа для решения СЛАУ методом Гаусса-Зейделя приведена ниже. Поскольку при некорректной постановке задачи количество итераций может стать излишне большим, в программе предусмотрено прекращение итерационного процесса при превышении заранее заданного предельного числа итераций.

program SLAU2;

label 1,2,3;

const n=3;

var a:array [1..n,1..n] of real;

b,x:array [1..n] of real;

i,j,k,m:integer;

e,s,d,d1,c:real;

Begin

for i:=1 to n do

Begin

writeln (‘Введите коэффициенты уравнения’,i);

for j:=1 to n do read (a[i,j]);

writeln (‘Введите свободный член уравнения’,i);

readln (b[i]);

end;

writeln (‘Введите точность’);readln (e);

writeln (‘Введите допустимое кол-во итераций’);readln (m);

for i:=2 to n do x[i]:=0;

k:=1;

Repeat

d1:=0;

for i:=1 to n do

Begin

s:=0;

for j:=1 to n do

Begin

if i=j then goto 1;

s:=s+a[i,j]*x[j];

1: end;

d:=abs(c-x[i]);

if d1 m then goto 2;

until d1

for i:=1 to n do write (x[i]:8:4);

writeln; goto 3;

2: writeln (‘Количество итераций выше допустимого’);

End.

Задания. Решить систему линейных алгебраических уравнений.

№ варианта Система Метод решения
Метод Гаусса
Метод Гаусса-Зейделя ( )
Метод Гаусса
Метод Гаусса-Зейделя ( )
Метод Гаусса
Метод Гаусса-Зейделя ( )
Метод Гаусса
Метод Гаусса-Зейделя ( )
Метод Гаусса
Метод Гаусса-Зейделя ( )

3. Аппроксимация функций с помощью метода

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8913 — | 7222 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector