Решить уравнение методом лагранжа

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для нахождения экстремума функции через множители Лагранжа в онлайн режиме (см. пример и пример решения графическим способом). При этом решаются следующие задачи:

1. составляется функция Лагранжа L(X) в виде линейной комбинации функции F(X) и ограничений g_i(x);
2. находятся частные производные функции Лагранжа, ∂L/∂x_i, ∂L/∂λ_i;
3. составляется система из (n + m) уравнений, ∂L/∂x_i = 0.
4. определяются переменные x_i и множители Лагранжа λ_i.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Метод множителей Лагранжа применяется как в линейном программировании, так и в нелинейном. В экономике этот метод используется в задаче потребительского выбора.

Правило множителей Лагранжа

Пример . Методом множителей Лагранжа решить следующую задачу оптимизации:
min f(x) = x₁ 2 + x₂ 2
h₁(x) = 2x₁ + x₂ -2 = 0
Соответствующая задача оптимизации без ограничений записывается в следующем виде:
L(x, λ) = x₁ 2 + x₂ 2 + λ(2x₁ + x₂ – 2) → min
Решение:

Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка X минимуму, вычислим матрицу Гессе функции L(x, λ), рассматриваемой как функция от x,
,
которая оказывается положительно определенной (2*2 – 0*0 = 4 > 0).
Это означает, что L(x, λ) – выпуклая функция. Следовательно, координаты x * = (-λ, λ/2) определяют точку глобального минимума. Оптимальное значение λ находится путем подстановки значений x₁ * и x₂ * в уравнение ограничений 2x₁ + x₂ -2 = 0, откуда вычисляем значение λ:
2λ + λ/2 = -2, откуда λ = -0.8
Таким образом, минимум достигается в точке x * с координатами x₁ * = 0.8 и x₂ * = 0.4. Значение ЦФ:
min f(x) = 0.8
Ответ: x * = [0.8; 0.4] T , f(x * ) = 0.8

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.

Метод вариации постоянной (Лагранжа)

В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.

Шаг 1 Решение однородного уравнения

Ищем решение однородного уравнения:

Это уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные — умножаем на dx , делим на y :

Интегрируем:

Интеграл по y — табличный:

Тогда

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :

Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию

Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.

По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:

.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2):
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные:

Умножим на :

Интегрируем:

Интегралы табличные:

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:

Отсюда:

Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )

Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.

Общее решение уравнения:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-07-2012 Изменено: 01-03-2015

Общий метод решения уравнения Лагранжа

Предположим, что некоторое дифференциальное уравнение первого порядка $Fleft(x,y,y’
ight)=0$, не разрешенное относительно производной, удалось разрешить относительно $y$, то есть представить в виде $y=fleft(x,y’
ight)$.

Частным случаем дифференциального уравнения такого вида является уравнение Лагранжа $y=xcdot phi left(y’
ight)+psi left(y’
ight)$, в котором $phi left(y’
ight)
e y’$.

Дифференциальное уравнение Лагранжа решают методом введения параметра $y’=p$.

При этом исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде $y=xcdot phi left(p
ight)+psi left(p
ight)$.

Выполнив дифференцирование по $x$ с учетом $dy=pcdot dx$, после несложных алгебраических преобразований получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции $xleft(p
ight)$ и её производной $frac $, а именно: $frac -frac<phi ‘left(p
ight)> cdot x=frac<psi ‘left(p
ight)> $.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Это уравнение решается известным методом, в результате чего получим его общее решение $x=Fleft(p,C
ight)$.

Подставив полученный результат в соотношение $y=xcdot phi left(p
ight)+psi left(p
ight)$, получим $y=Fleft(p,C
ight)cdot phi left(p
ight)+psi left(p
ight)$.

Дополнительные частные либо особые решения уравнения Лагранжа могут быть получены в результате нахождения действительных корней уравнения $p-phi left(p
ight)=0$ и подстановки их в $y=xcdot phi left(p
ight)+psi left(p
ight)$.

Решение типичных задач

Решить дифференциальное уравнение $y=-xcdot y’+y’^ <2>$.

Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $phi left(y’
ight)=-y’$ и $psi left(y’
ight)=y’^ <2>$.

Вводим параметр $y’=p$ и получаем $y=-xcdot p+p^ <2>$, а также $phi left(p
ight)=-p$ и $psi left(p
ight)=p^ <2>$.

Теперь получим уравнение вида $frac -frac<phi ‘left(p
ight)> cdot x=frac<psi ‘left(p
ight)> $. Для этого находим: $phi ‘left(p
ight)=-1$; $psi ‘left(p
ight)=2cdot p$; $p-phi left(p
ight)=p-left(-p
ight)=2cdot p$.

Уравнение приобретает вид: $frac +frac<1> <2cdot p>cdot x=1$.

Применяем алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:

1. Стандартный вид $frac+frac<1><2cdot p>cdot x=1$, где $Pleft(p
   ight)=frac<1><2cdot p>$, $Qleft(p
   ight)=1$.
2. Вычисляем интеграл $I_ <1>=int Pleft(p
   ight)cdot dp =int frac<1><2cdot p>cdot dp =frac<1><2>cdot ln left|p
   ight|$.

Записываем частное решение $vleft(p
ight)=e^<-frac<1> <2>cdot ln left|p
ight|> $, выполняем упрощающие преобразования: $ln vleft(p
ight)=-frac<1> <2>cdot ln left|p
ight|$; $ln left(vleft(p
ight)
ight)^ <2>+ln left|p
ight|=0$; $left(vleft(p
ight)
ight)^ <2>cdot left|p
ight|=1$.

Выбираем для $vleft(p
ight)$ простейший ненулевой вариант: $vleft(p
ight)=frac<1> <sqrt

> $.

cdot dp =frac<2><3>cdot p^<frac<3><2>> $ и получаем $uleft(p,C
ight)=frac<2><3>cdot p^<frac<3><2>> +C$.

> =frac<2><3>cdot p+frac<sqrt

> $.

Подставляем полученный результат в $y=xcdot phi left(p
ight)+psi left(p
ight)$. Получаем: $y=-left(frac<2> <3>cdot p+frac <sqrt

>
ight)cdot p+p^ <2>=frac<1> <3>cdot p^ <2>-Ccdot sqrt

$.

Таким образом, общее решение данного уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $left<egin <2> <3>cdot p+frac <sqrt

> > \ <1> <3>cdot p^ <2>-Ccdot sqrt

> end
ight. $.

Для определения дополнительных частных либо особых решений находим корни уравнения $p-phi left(p
ight)=0$: получаем $p=0$.

Подставляем $p=0$ в $y=-xcdot p+p^ <2>$ и получаем $y=0$. Это решение является частным, так как получается из общего при $C=frac<1> <3>cdot p^<frac<3> <2>> $.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!