Резонанс токов примеры решения задач

3.3 Резонанс в электрической цепи

При резонансе характер нагрузки становится чисто активным, напряжение на входе цепи совпадает с током цепи

Решение задач резонанса в электрической цепи

Задача 3.3.1 Для последовательного колебательного контура (рис. 3.3.1) найти наибольшее напряжение на конденсаторе при изменении его емкости.

Рис. 3.3.1 Последовательный колебательный контур

Рассчитать и построить зависимость напряжения на конденсаторе от его емкости, если U =16 В, R = 50 Ом, L = 10 мГ, ω = 104 с –1 .

Решение. Ток в последовательном контуре

I = U Z = U R 2 + ( X L − X C ) 2 .

Напряжение на емкости

U C = I ⋅ X C = U ⋅ X C R 2 + ( X L − X C ) 2 . (1)

Максимум напряжения на емкости найдем из условия

d d X C U ⋅ X C R 2 + ( X L − X C ) 2 = 0 ; d d X C X C ⋅ [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 = 0 ; [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 d d X C X C + X C ⋅ d d X C [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 = 0, [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 + X C ⋅ ( − 1 2 ) ⋅ [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 − 1 ⋅ 2 ( X L − X C ) ( − 1 ) = 0 ; [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 ⋅ [ 1 + X C ( X L − X C ) R 2 + ( X L − X C ) 2 ] = 0 ; R 2 + X L 2 − X L X C R 2 + ( X L − X C ) 2 = 0,

видно, что напряжение на конденсаторе достигает максимума при

R 2 + X L 2 − X L X C = 0 ; X C max = R 2 + X L 2 X L = R 2 + ( ω L ) 2 X L = 50 2 + ( 10 4 ⋅ 10 − 2 ) 2 10 4 ⋅ 10 − 2 = 125 О м .

U C = U ⋅ X C max R 2 + ( X L − X C max ) 2 = 16 ⋅ 125 50 2 + ( 100 − 125 ) 2 = 35,8 В .

Кривая U_C(Х_C), рассчитанная по формуле (1), приведена на рис. 3.3.2.

Рис. 3.3.2 Зависимость напряжения на конденсаторе от его емкости в последовательном колебательном контуре

Задача 3.3.2 В последовательной резонансной цепи (рис. 3.3.1) R = 2 Ом, C = 100 мкФ, L = 40 мГн.

Определить резонансную частоту ω добротность контура, полосу пропускания и зависимость полосы пропускания от добротности контура. Построить резонансную кривую I/I_max = f(ω/ω) при U =10 В. Построить векторные диаграммы напряжений при частотах ω/2, ω, 2 ω.

Решение. Резонансная частота контура

ω 0 = 1 L C = 1 40 ⋅ 10 − 3 ⋅ 100 ⋅ 10 − 3 = 500 с − 1 .

Q = X C 0 R = 1 ω 0 C ⋅ R = X L 0 R = ω 0 L R = 500 ⋅ 40 ⋅ 10 − 3 2 = 10.

Резонансная кривая может быть построена из уравнения

I = U R 2 + ( X L − X C ) 2 = U R 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 .

Преобразуем это выражение

I = U R 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 = U R 1 + 1 R 2 ( ω ω 0 ω 0 L − ω 0 ω 1 ω 0 C ) 2

в относительных единицах Ω = ω/ω

I ( Ω ) = I max 1 + Q 2 ( Ω − 1 Ω ) 2 , (2)

где ток при резонансе

Задаваясь разными значениями ω/ω, находим I/I_max. Результаты расчетов сведены в табл. 1.

3.3 Резонанс в электрической цепи

При резонансе характер нагрузки становится чисто активным, напряжение на входе цепи совпадает с током цепи

Решение задач резонанса в электрической цепи

Рис. 3.3.1 Последовательный колебательный контур

Решение. Ток в последовательном контуре

I = U Z = U R 2 + ( X L − X C ) 2 .

Напряжение на емкости

U C = I ⋅ X C = U ⋅ X C R 2 + ( X L − X C ) 2 . (1)

Максимум напряжения на емкости найдем из условия

видно, что напряжение на конденсаторе достигает максимума при

R 2 + X L 2 − X L X C = 0 ; X C max = R 2 + X L 2 X L = R 2 + ( ω L ) 2 X L = 50 2 + ( 10 4 ⋅ 10 − 2 ) 2 10 4 ⋅ 10 − 2 = 125 О м .

U C = U ⋅ X C max R 2 + ( X L − X C max ) 2 = 16 ⋅ 125 50 2 + ( 100 − 125 ) 2 = 35,8 В .

Кривая U_C(Х_C), рассчитанная по формуле (1), приведена на рис. 3.3.2.

Рис. 3.3.2 Зависимость напряжения на конденсаторе от его емкости в последовательном колебательном контуре

Задача 3.3.2 В последовательной резонансной цепи (рис. 3.3.1) R = 2 Ом, C = 100 мкФ, L = 40 мГн.

Решение. Резонансная частота контура

ω 0 = 1 L C = 1 40 ⋅ 10 − 3 ⋅ 100 ⋅ 10 − 3 = 500 с − 1 .

Q = X C 0 R = 1 ω 0 C ⋅ R = X L 0 R = ω 0 L R = 500 ⋅ 40 ⋅ 10 − 3 2 = 10.

Резонансная кривая может быть построена из уравнения

I = U R 2 + ( X L − X C ) 2 = U R 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 .

Преобразуем это выражение

I = U R 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 = U R 1 + 1 R 2 ( ω ω 0 ω 0 L − ω 0 ω 1 ω 0 C ) 2

в относительных единицах Ω = ω/ω

I ( Ω ) = I max 1 + Q 2 ( Ω − 1 Ω ) 2 , (2)

где ток при резонансе

Задаваясь разными значениями ω/ω, находим I/I_max. Результаты расчетов сведены в табл. 1.

Рекомендации для студента

Резонанс напряжений

В цепях переменного тока с последовательно соединенными катушкой, резистором и конденсатором, в которых реактивные сопротивления равны между собой (X_L=X_С), наступает резонанс напряжений. В этом случае сопротивление становится минимальным и равным активному сопротивлению. Так как реактивные сопротивления зависят от частоты, то резонанс наступит при определенной частоте, которая называется резонансной.

· — циклическая резонансная частота;

· — резонансная частота тока;

· — волновое сопротивление;

· — добротность цепи;

· — мощность при резонансе напряжений.

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе равны между собой и могут оказаться больше по значению напряжения цепи. Понятие добротности имеет важное практическое значение (например, для антенн).

В сеть синусоидального тока с частотой f = 50 Гц включены последовательно реостат с сопротивлением R=5 Ом, индуктивность L и емкость C. Вычислить индуктивность L и емкость C, если напряжения на R, L и C одинаковы.

Так как в неразветвленной цепи ток на всех участках (сопротивлениях) имеет одинаковое значение, то и падение напряжения на всех участках цепи имеет одинаковое значение при одинаковых сопротивлениях участков.

Схема цепи изображена на рисунке 5.8